Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
(
)
(
)
()
()
()
()
.
2
4
2
cos44
22
sin
x
exarctg
x
x
exarctg
x
exarctgxx
+
⋅
′
+
′
−+⋅
′
⋅−
=
Ответ:
()
()
()
()
.
4
cos4
41
1
42sin
2
2
2
2
x
xx
exarctg
xe
x
exarctgxx
xy
+
⋅
+⋅
+
−+⋅⋅−
=
′
Пример 12. Найти производную y′(x) неявной функции:
Решение . Продифференцируем данное равенство по x:
Раскроем скобки :
Ответ:
(
)
()()
.
cos2
cos3ln3
2
yxxy
yxy
y
x
++
+−−⋅
=
′
Пример 13. Найти производную функции
(
)
(
)
.arcsin
2xctg
xy =
Решение . Логарифмируя данное равенство , получим неявную функцию:
Дифференцируем данное равенство по x и находим y′(x):
.2
1
1
arcsin
1
arcsinln2
2sin
11
2
2
xctg
x
x
x
x
y
y
⋅
−
⋅+⋅⋅−=
′
⋅
.2
1
1
arcsin
1
arcsinln2
2sin
1
2
2
⋅
−
⋅+⋅⋅−⋅=
′
⇒ xctg
x
x
x
x
yy
Ответ:
()
.2
1
1
arcsin
1
arcsinln2
2sin
1
arcsin
2
2
2
⋅
−
⋅+⋅⋅−⋅=
′
xctg
x
x
x
x
xy
xctg
(
)
(
)
(
)
.cos3ln3cos2
2
yxyyxxyy
x
+−−⋅=++⋅
′
(
)
.03sin
2
=−++
x
yxxy
(
)
(
)
.03ln31cos21
2
=⋅−
′
+⋅++
′
⋅⋅+⋅
x
yyxyyxy
(
)
(
)
.03ln3coscos2
2
=⋅−+⋅
′
+++
′
⋅+
x
yxyyxyxyy
(
)
.arcsinln2ln xxctgy
⋅
=
     (−sin x 2 )⋅ (x 2 )′ ⋅ (arctg 4x +e x )−��� (arctg 4x )′ +(e x )′ ��� ⋅ cos x 2
  =                                                                                    .
                                    (arctg 4 x +e x )2
                                                         �                         �
                   −sin x 2 ⋅ 2 x ⋅ (arctg 4 x +e x ) −��
                                                                1
                                                                        ⋅ 4 +e x �� ⋅ cos x 2
                                                           � 1 +(4 x )
                                                                      2

   Ответ: y ′(x ) =                                                                  �        .
                                            (arctg 4 x +e x )   2




   Пример 12. Найти производную y′(x) неявной функции:

      xy 2 +sin (x + y ) −3 x =0.

   Решение. Продифференцируем данное равенство по x:

  1 ⋅ y 2 +x ⋅ 2 y ⋅ y ′ +cos(x + y )⋅ (1 + y ′ ) −3 x ⋅ ln 3 =0.

Раскроем скобки:

  y 2 +2 xy ⋅ y ′ +cos(x + y ) + y ′ ⋅ cos(x + y ) −3 x ⋅ ln 3 =0.

  y ′ ⋅ (2 xy +cos(x + y )) =3 x ⋅ ln 3 −y 2 −cos(x + y ).

                  3 x ⋅ ln 3 −y 2 −cos(x + y )
   Ответ:       ′
               y =                            .
                       (2 xy +cos(x + y ))
                                                                                (ctg 2 x )
   Пример 13. Найти производную функции y =(arcsin x )    .
   Решение. Логарифмируя данное равенство, получим неявную функцию:

  ln y =ctg 2 x ⋅ ln(arcsin x ).

Дифференцируем данное равенство по x и находим y′(x):

   1            1                      1       1
     ⋅ y ′ =− 2 ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x +         ⋅       ⋅ ctg 2 x.
   y         sin 2 x                arcsin x 1 −x 2

             �      1                    1       1                �
⇒ y ′ =y ⋅ �� − 2 ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x +         ⋅       ⋅ ctg 2 x �� .
               � sin 2 x              arcsin x 1 −x 2               �

                                             �      1                    1       1                �
  Ответ: y ′ =(arcsin x )                ⋅ �� − 2 ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x +         ⋅       ⋅ ctg 2 x �� .
                               ctg 2 x

                                               � sin 2 x              arcsin x 1 −x 2               �


                                                        15

Страницы