Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Пример 9. Найти предел .
4
6
2
8
3
lim
2
−+
−
→
x
x
x
x
Решение . При подстановке вместо x числа 2 мы получаем неопределен-
ность вида
0
0
. Для раскрытия этой неопределенности сначала избавимся от
иррациональности в знаменателе дроби, а затем разложим выражения, стре-
мящиеся к нулю , на множители :
(
)
=
++⋅
−+
++⋅−
→
=
=
−+
−
→
46
2
46
2
46
2
8
3
lim
2
0
0
46
2
8
3
lim
2
xxxx
xxx
x
xx
x
x
(
)
()
(
)
()()
=
+⋅−
++⋅++⋅−
→
=
−
+
++⋅−
→
=
82
46
2
42
2
2
lim
2
16
6
2
46
2
8
3
lim
2
xx
xxxxx
x
x
x
xxx
x
(
)
()
.6,9
5
48
10
812
8
46
2
42
2
lim
2
==
⋅
=
+
++⋅++
→
=
x
xxxx
x
Пример 10. Найти предел
.
2
2
2
cos
lim
2
−
→
x
x
x
π
π
Решение . Мы имеем дело с неопределенностью вида
0
0
.
.0 и
2
огда т,
2
замену Произведем →+==− ttxtx
π
π
()
,1
2
sin
lim
0
2
2
sin
lim
0
2
2
2
cos
lim
0
0
0
2
2
2
cos
lim
2
=
→
=
→
=
−
+
→
=
=
−
→
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
x
π
π
π
так как 1
sin
lim
0
=
→
t
t
(первый замечательный предел).
Производная функции
Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента
стремится к нулю :
()
(
)
(
)
.
lim
0
x
xfxxf
x
xf
∆
−
∆
+
→
∆
=
′
                                                x 3 −8
    Пример 9. Найти предел lim                               .
                                x→ 2 x 2 +6 x −4
    Решение. При подстановке вместо x числа 2 мы получаем неопределен-
              � 0�
ность вида � � . Для раскрытия этой неопределенности сначала избавимся от
               � 0�
иррациональности в знаменателе дроби, а затем разложим выражения, стре-
мящиеся к нулю, на множители:

            3
          x −8           � 0�
                                              (          �
                                                          )
                                              x 3 −8 ⋅ �� x 2 +6 x +4 ��
                                                                          �
  lim                  =� � = lim                                                 =
 x→ 2 x 2 +6 x −4 � 0 � x→ 2 � x 2 +6 x −4 � ⋅ � x 2 +6 x +4 �
                                     �                     � �                �
                                       �                    � �                 �
         (        )
        x 3 −8 ⋅ �� x 2 +6 x +4 ��
                    �              � =
                                                              (              )
                                                 (x −2 )⋅ x 2 +2 x +4 ⋅ �� x 2 +6 x +4 ��
                                                                            �             � =
= lim                                     lim
   x→ 2           2
                 x +6 x −16              x→ 2                   (x −2 )⋅ (x +8 )
         (               )
        x 2 +2 x +4 ⋅ �� x 2 +6 x +4 ��
                          �                 � =12 ⋅ 8 =48 =9,6.
= lim
   x→ 2               (x +8 )                      10        5

                                                  cos 2 x
   Пример 10. Найти предел                lim              .
                                         x→ π � π        2
                                             2 � −x ��
                                                � 2    �
                                                                                 � 0�
   Решение. Мы имеем дело с неопределенностью вида �                                   � .
                                                                                  � 0�
                                π                                 π
Произведем          замену x − =t ,               тогда x =t + и t → 0.
                                 2                                2
                                         �        π�
             2                    cos 2 � t + �                                          2
         cos x         � 0�                �      2�        sin 2 t         � sin t �
                    =       =                        = lim          = lim �           � =1,
 lim
x→ π � π         2 �� 0 �� tlim                 2               2
    2 � −x ��
                              → 0    (−      t )      t → 0   t      t → 0   �  t      �
       � 2     �
                 sin t
так как lim             =1 (первый замечательный предел).
           t→ 0 t

                                   Производная функции
   Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю:

                      f (x +∆x ) − f (x )
    f ′(x ) = lim                        .
             ∆x→ 0          ∆x

                                                     13

Страницы