Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 11 стр.

    Длину высоты BD найдем как расстояние точки B до прямой AC по
                   ax +by0 +c
формуле: d = 0                   , где ax+by+c=0 – общее уравнение прямой AC, а
                      a 2 +b 2
(x0; y0) – координаты точки B. Итак,
              4 ⋅ (−5) +3 ⋅ 7 −29     −20 +21 −29    28
       BD =                        =                = (ед.).
                     4 2 +32                25       5
4) Найдем основание биссектрисы (точку K), используя то, что точка K делит
отрезок BC на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:
BK AB                       2         2                   2         2
    =    , где AB = (−5 −2 ) +( 7 −7 ) =7, AC = ( 5 −2 ) +( 3 −7 ) =5 .
KC AC
                   BK     7
Следовательно,        =λ = .
                   KC     5
Для нахождения координат точки K используем формулы деления отрезка в дан-
ном отношении:
                                           7
                x B +λ ⋅ xC −5 +5 ⋅ 5 −25 +35 10 5
        xK =                     =             =             = = .
                    1 +λ              1+
                                           7         5 + 7     12 6
                                           5
                                         7
                y B +λ ⋅ yC 7 + ⋅ 3 35 +21 56 28
        yK =                      =      5 =              = = .
                     1 +λ            1+
                                          7      5   +7     12 6
                                          5
Составим уравнение AK, используя координаты точек A и K:
       x −2        y −7         x −2        y −7       x −2 y −7
               =          ;            =           ;         =      .
       5          28            5 − 12    28  −42       − 7    − 14
          −2          −7
       6           6
       2 ⋅ ( x −2 ) = y −7; 2 x −4 = y −7. Итак, AK: 2 x −y +3 =0.
5) Найдем точку О пересечения медианы AM с высотой BD, решив систему:
� x −y +5 =0, � −3x +3 y −15 =0,
 �                          �                        −y +28 =0, y0 =28, x −28 +5 =0, x0 =23 .
   � 3 x −  4 y + 43  = 0,    � 3 x −4 y +  43 = 0,

Итак, точка O имеет координаты: O( 23; 28 ). Для нахождения угла между пря-
мыми линиями BD и AM воспользуемся формулой:
          k −k                  3
  tgϕ = 2 1 , где k1 =k BD = ,
        1 +k1 ⋅ k 2             4
  k 2 =k AM =1 (т. к. АМ имеет уравнение y =x +5).
               3   1
            1−
Итак, tgϕ =    4 = 4 =1 ,                    1
                                     ϕ =arctg .
              3    7 7                       7
           1 + ⋅1
              4    4

                                             11