ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
() ()
.
0
1
2
3
lim,
0
1
2
3
lim
2
02
2
02
∞+=
+
+
=
−
−
∞−=
−
+
=
−
−
+→−→
x
x
x
x
xx
Следовательно , прямая линия x = 2 – является вертикальной асимптотой.
Б) Уравнения наклонных (горизонтальных) асимптот графика функции будем
искать в виде : y=kx+b, где k и b определяются по формулам:
(
)
()()
.lim,lim
2,12,1
xkxyb
x
xy
k
xx
⋅−==
±∞→±∞→
Если x→+∞ мы находим правую асим -
птоту , а если x→-∞ - левую. При k = 0 и b ≠ ∞ мы получаем горизонтальную
асимптоту , при k ≠ 0 – наклонную , а при k=∞ или b=∞ (или не существуют) –
асимптота отсутствует.
В нашем случае
()
,1
2
1
2
3
1
lim
2
3
lim
2
3
lim
2
22
2,1
=
−
−
=
∞
∞
=
−
−
=
⋅−
−
==
∞→∞→∞→
x
x
xx
x
xx
x
kk
xxx
.2
2
1
3
2
lim
2
32
lim
2
23
lim1
2
3
lim
222
=
−
−
=
∞
∞
=
−
−
=
−
+−−
=
⋅−
−
−
=
∞→∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
b
xxxx
Таким образом, прямая y = x + 2 – является наклонной асимптотой.
6. Найдем первую производную функции:
()
()
() () ()
.
2
34
2
342
2
322
2
3
2
2
2
22
2
22
−
+−
=
−
+−−
=
−
−−−⋅
=
′
−
−
=
′
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
x
y
() ()
.6
2
3
39
,2
2
1
31
.3,10
2121
=
−
−
==
−
−
===⇒=
′
xyxyxxy
Итак, критическими точками 1-го рода являются точки x = 1 и x = 3. Точка x=2
критической не является, т. к. она не принадлежит области определения функции.
7. Найдем вторую производную функции:
()
()()()
()
()
=
−
+−⋅−⋅−−⋅−
=
′
−
+−
=
′′
4
2
2
2
2
2
3422242
2
34
x
xxxxx
x
xx
y
(
)
(
)
(
)
() () ()
.0
2
2
2
382882
2
342242
33
22
3
2
≠
−
=
−
−+−+−
=
−
+−−−⋅−
=
xx
xxxx
x
xxxx
Критических точек второго рода функция не имеет.
8. Составим таблицу исследования функции:
x
(-∞; 1 )
1 ( 1; 2 ) 2 ( 2; 3 ) 3
( 3; ∞)
y′(x)
+ 0 - Не сущ . - 0 +
y″(x)
- - - Не сущ . + + +
y(x) Возрастает,
выпуклая.
Max
y=2.
Убывает,
выпуклая.
Не сущ . Убывает,
вогнутая.
Min
y=6.
Возрастает,
вогнутая.
x 2 −3 � +1 � x 2 −3 � +1 �
lim
x → 2−0 x −2
=� � = (− ∞ ), lim =� � =(+∞).
� −0 � x → 2+0 x −2
� +0 �
Следовательно, прямая линия x = 2 – является вертикальной асимптотой.
Б) Уравнения наклонных (горизонтальных) асимптот графика функции будем
искать в виде: y=kx+b, где k и b определяются по формулам:
y (x )
k1, 2 = lim , b1, 2 = lim (y(x ) −k ⋅ x ). Если x→ +∞ мы находим правую асим-
x→ ±∞ x x→ ±∞
птоту, а если x→ -∞ - левую. При k = 0 и b ≠∞ мы получаем горизонтальную
асимптоту, при k ≠0 – наклонную, а при k=∞ или b=∞ (или не существуют) –
асимптота отсутствует.
В нашем случае
3
1−
x −3
2
x −3 � ∞ �
2
x 2 =1,
k1, 2 =k =lim =lim 2 =� � =lim
x → ∞ (x −2 ) ⋅ x x → ∞ x −2 x
� ∞ � x → ∞ 1 −2
x
3
2−
� x −3
2
� x −3 −x +2 x
2 2
2 x −3 � ∞ � x =2.
b =lim�� −1 ⋅ x �� =lim =lim =� � =lim
x → ∞ x −2 − x → ∞ x −2 ∞
� � x→ ∞ x 2 � � x→ ∞
1−
2
x
Таким образом, прямая y = x + 2 – является наклонной асимптотой.
6. Найдем первую производную функции:
′
� x 2 −3 � 2 x ⋅ (x −2 ) −(x 2 −3) 2 x 2 −4 x −x 2 +3 x 2 −4 x +3
y ′ =�� �� = = = .
� x −2 � (x −2 )2 (x −2 )2 (x −2 )2
1 −3 9 −3
y ′ =0 ⇒ x1 =1, x2 =3. y(x1 ) = =2, y (x2 ) = =6.
1 −2 3 −2
Итак, критическими точками 1-го рода являются точки x = 1 и x = 3. Точка x=2
критической не является, т. к. она не принадлежит области определения функции.
7. Найдем вторую производную функции:
′
y ′′ =��
� x 2 −4 x +3 �
� =
(2 x −4 )⋅ (x −2 )2 −2 ⋅ (x −2 )⋅ (x 2 −4 x +3) =
�
� (x −2 ) � (x −2)4
2
=
(2 x −4 )⋅ (x −2 ) −2(x 2 −4 x +3) =2 x 2 −8 x +8 −2 x 2 +8 x −3 = 2 ≠0.
(x −2)3 (x −2 )3 (x −2)3
Критических точек второго рода функция не имеет.
8. Составим таблицу исследования функции:
x (-∞; 1 ) 1 ( 1; 2 ) 2 ( 2; 3 ) 3 ( 3; ∞)
y′(x) + 0 - Не сущ. - 0 +
y″(x) - - - Не сущ. + + +
y(x) Возрастает, Max Убывает, Не сущ. Убывает, Min Возрастает,
выпуклая. y=2. выпуклая. вогнутая. y=6. вогнутая.
19
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
