Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 37 стр.

        +∞
M (X ) = ∫x ⋅ϕ (x )dx получаем
        −∞

                 0         π           +∞
                             1
     M ( Х ) = ∫x ⋅ 0dx +∫x ⋅ sin xdx + ∫x ⋅ 0dx =
              −∞         0   2          π

      1π              � x =u         dx =du �       1                  π
     = ∫x ⋅ sin xdx =�                         �   =   ( −x ⋅ cos x 0 ∫cos xdx) =
                                                                    π
                                                                      +
      20               � sin xdx =dv v =−cos x   �   2                 0

      1                            1                π      π
     = (−x ⋅ cos x 1π +sin x π0 ) = (−π ⋅ cos π ) =− (−1) = .
      2                            2                2      2
     Находим сначала М(Х2). Имеем
                  +∞               0            π       +∞
                                              1
     M ( Х ) = ∫x ⋅ ϕ ( x )dx = ∫x ⋅ 0dx +∫x ⋅ sin xdx + ∫x 2 ⋅ 0dx =
             2         2               2             2

              −∞               −∞         0   2          π

      1π                � x 2 =u       2 xdx =du �
     = ∫x 2 ⋅ sin xdx =�                           � =
      20                 � sin xdx =dv v = − cos x  �
                      π                      π
      1                                1 2
     = (−x ⋅ cos x 0 +∫2 x ⋅ cos xdx) = (π +2∫x ⋅ cos xdx) =
          2        π

      2               0                2     0

       � x =u          dx =du �       1 2                         π

                                                                  ∫
                                                           π
     =�                          �   =   (π +2 ( x ⋅ sin x   ) −2   sin xdx) =
                   =     =
                                                           0
        �  cos xdx  dv v   sin x   �   2                          0

          1               1
     = π 2 +cos x π0 = π 2 −2.
          2               2
     Далее по формуле D(X ) =M (X 2 ) −(M (X )) получаем
                                                          2



                                         π2   π2 π2
                                D ( X ) = −2 − = −2 .
                                         2    4  4


                 Примерный вариант контрольной работы №8
     1. Среди студентов группы, из которых 9 юношей, разыгрывается 6 билетов.
Какова вероятность того, что среди обладателей билетов двое юношей?
     2. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом
кубике выпадает чётное число очков, а на втором – число меньше 6?
     3. Охотник стреляет в летящую утку до первого попадания, но успевает сде-
лать не более трёх выстрелов. Составить закон распределения числа выстрелов;
получить функцию распределения, вычислить математическое ожидание и дис-
персию, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7.
     4. Какова вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три де-
вочки? Вероятности рождения девочки и мальчика принять одинаковыми.

                                                37