Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
Найти математическое ожидание , дисперсию, среднее квадратическое от-
клонение .
Решение . Так как случайная величина является дискретной, то для вычисле -
ния М (Х ) воспользуемся формулой
()
∑
=
⋅=
4
1 i
ii
pxXM . Имеем
М (Х) = 0⋅0,4 + 1⋅0,1 + 2⋅0,3 + 3⋅0,2 = 1,3.
Найдем дисперсию D(X). Предварительно найдем математическое ожидание
от Х
2
:
М (Х
2
) = х
1
2
⋅ р
1
+ х
2
2
⋅ р
2
+ х
3
2
⋅ р
3
+ х
4
2
⋅ р
4
= 0
2
⋅0,4 + 1
2
⋅0,1 + 2
2
⋅0,3 + 3
2
⋅0,2 = 3,1.
Далее по формуле
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
XMXMXD −=
получаем
D(X) = 3,1 –1,3
2
= 3,1 – 1,69 = 1,41.
Найдем среднее квадратическое отклонение . Имеем
σ(Х) = 22,141,1)( ≈= XD .
Пример 40. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распреде -
ления
>
≤<⋅−
≤
=
. при 1
,0 при cos
2
1
2
1
,0 при 0
)(
π
π
x
xx
x
xF
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение . По определению дифференциальной функции ϕ(х) = F′(x). Отсюда
>
<<⋅
<
=
.0 при 0
,0 при sin
2
1
,0 при 0
)(
x
xx
x
x πϕ
В точках х = 0 и х = π функция ϕ(х) не дифференцируема. По формуле 
     Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое от-
клонение.
     Решение. Так как случайная величина является дискретной, то для вычисле-
                                                   4
ния М(Х) воспользуемся формулой M (X ) =∑ xi ⋅ pi . Имеем
                                                  i =1


                       М(Х) = 0⋅0,4 + 1⋅0,1 + 2⋅0,3 + 3⋅0,2 = 1,3.

     Найдем дисперсию D(X). Предварительно найдем математическое ожидание
от Х2:

  М(Х2) = х12 ⋅ р1 + х22⋅ р2 + х32⋅ р3 + х42⋅ р4 = 02⋅0,4 + 12⋅0,1 + 22⋅0,3 + 32⋅0,2 = 3,1.

         Далее по формуле D(X ) =M (X 2 ) −(M (X )) получаем
                                                         2



                          D(X) = 3,1 –1,32 = 3,1 – 1,69 = 1,41.

         Найдем среднее квадратическое отклонение. Имеем

                              σ(Х) = D( X ) = 1,41 ≈1,22 .

         Пример 40. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распреде-
ления
                                    � 0       при x ≤0,
                                     �� 1 1
                           F ( x) =� − ⋅ cos x при 0 π .

     Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
     Решение. По определению дифференциальной функции ϕ(х) = F′(x). Отсюда


                                     � 0       при x <0,
                                      �� 1
                            ϕ ( x) =� ⋅ sin x при 0 0.

В точках х = 0 и х = π функция ϕ(х) не дифференцируема. По формуле


                                             36

Страницы