ВУЗ:
Составители:
49
ПРОДОЛЖЕНИЕ ПРИЛ. 7
6. Вариационные методы
Вариационные методы [12 – 14] определения усилий и деформаций, как и
метод баланса работ, основаны на энергетическом принципе, но в отличие от
метода верхней оценки и метода баланса работ позволяют определить не только
полное и удельное усилия, но и распределение напряжений и деформаций по
объему тела, а также форму тела после деформации с учетом
неравномерности
деформации.
Вариационные методы основаны на положении: «сумма работ всех внеш-
них и внутренних сил на возможных перемещениях около состояния равнове-
сия равна нулю».
Работа внешних сил
∫∫
ϖ+ϑ+=
a
B
da)ZYXu(A
,
где X, Y, Z – компоненты внешних поверхностных сил;
u,
ϑ , ϖ – компоненты перемещений.
Вариации работы внешних сил на возможных перемещениях, согласно
уравнению для
B
A , определяются уравнением
∫∫∫∫
ϖ+ϑ+δ=δϖ+δϑ+δ=δ
aa
B
da)ZYXu(da)ZYuX(A .
Вариации работы внутренних сил на возможных перемещениях, согласно
уравнению для
Д
A , определяются уравнением:
∫∫∫∫∫∫
εδ=ε=δ
V
i
V
iД
dVkdVdkА .
В соответствии с принципом возможных перемещений, учитывая, что ра-
бота внутренних сил положительна, а внешних отрицательна, имеем
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ϖ+ϑ+−εδ=δϖ+δϑ+δ−δε
aVa
i
V
i
0da)ZYXu(dVkda)ZYUX(dVk .
Величина, стоящая в квадратных скобках, представляет собой полную
энергию. Следовательно, вариация полной энергии равна нулю. Это положение
можно сформулировать так: «действительная форма равновесия тела отличает-
ся от всех возможных форм тем, что сообщает полной энергии минимальное
значение».
Таким образом, задача может быть поставлена так: найти такую функцио-
нальную зависимость перемещений
от координат, при которой полная энергия
принимает минимальное значение.
Решение практических задач обработки металлов давлением методом ва-
риационного исчисления представляет значительные математические трудно-
сти. Применением приближенных, так называемых «прямых», методов вариа-
ционного исчисления удается решить большое число задач.
Один из прямых методов (метод Ритца) заключается в том, что искомую
функцию (применительно
к обработке давлением этой функцией являются пе-
ремещения) представляют в виде ряда, например,
)z,y,x(a)z,y,x(au
2211
ϕ
+
ϕ= + ...,
