Физика и биофизика. Филимонова З.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГМУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

39
()
E
kA
t
П
=+
2
2
00
2
cos
ωϕ
;
полная
EE E
kA
K П
=+=
2
2
.
Амплитуда сложного колебания
()
AAA AA=++ −
1
2
2
2
1 2 02 01
2cos
ϕϕ
,
где А
1
и А
2
– амплитуды слагаемых гармонических колебаний;
ϕ
01
и
ϕ
02
– их
начальные фазы.
Начальная фаза сложного колебания
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
0
101202
101202
=
+
+
arctg
AA
AA
sin sin
cos cos
.
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний, заданных уравнениями
()
xA t=
+
1001
cos
ω
ϕ
и
(
)
yA t
=
+
2002
cos
ω
ϕ
,
получаем периодическое движение материальной точки по эллиптической траектории.
В общем случае, уравнение эллипса
()()
x
A
y
A
xy
AA
2
1
2
2
2
2
12
02 01
2
02 01
2+− − = −cos sin
ϕϕ ϕϕ
.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
dx
d
t
dx
dt
x
2
2
0
2
20++=
βω
,
где
β
=r/(2m) – коэффициент затухания; r – коэффициент пропорциональности между
скоростью материальной точки и силой трения, равной Fr
тр
=
−
υ
.
Решение зависит от знака разности:
ωωβ
2
0
22
=−
,
где
ω
– круговая частота затухающих колебаний.
При
ωβω
0
22 2
0−=>
)
00
cos
ϕω
β
+=
−
teAx
t
.
Период колебаний
T ==
−
22
0
22
π
ω
π
ωβ
.
При
ωβω
0
22 2
0−=< период становится мнимым, а процесс – апериодическим.
Амплитуда затухающих колебаний
t
eAA
β
−
=
0
.
Логарифмический декремент затухания 
                                                       39


                                           kA 2
                                   EП    =      cos 2 (ω 0 t + ϕ 0 ) ;
                                            2
      полная
                                                               kA 2
                                       E = EK + E П          =      .
                                                                2
Амплитуда сложного колебания
                         A=        A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 02 − ϕ 01 ) ,
где А1 и А2 – амплитуды слагаемых гармонических колебаний;                        ϕ 01 и ϕ 02 – их
начальные фазы.
Начальная фаза сложного колебания
                                              A1 sinϕ 01 + A2 sinϕ 02
                               ϕ 0 = arctg                              .
                                              A1 cos ϕ 01 + A2 cos ϕ 02
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний, заданных уравнениями
                                  (                )
               x = A1 cos ω 0 t + ϕ 01 и y = A2 cos ω 0 t + ϕ 02 ,            (   )
получаем периодическое движение материальной точки по эллиптической траектории.
В общем случае, уравнение эллипса
               x2        y2          xy
                     +         −2         cos(ϕ 02 − ϕ 01 ) = sin 2 (ϕ 02 − ϕ 01 ) .
               A12       A22        A1 A2
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
                                      d 2x             dx
                                             + 2β         + ω 02 x = 0 ,
                                      dt 2             dt
где β =r/(2m) – коэффициент затухания; r – коэффициент пропорциональности между
скоростью материальной точки и силой трения, равной Fт р = − rυ .
Решение зависит от знака разности:
                                             ω 2 = ω 02 − β 2 ,
гдеω – круговая частота затухающих колебаний.
      2     2     2
При ω 0 − β = ω > 0
                             x = A0e − βt cos(ωt + ϕ 0 ) .
Период колебаний
                                              2π             2π
                                      T=           =                      .
                                              ω           ω 02   −β   2

           2     2         2
При   ω 0 − β = ω < 0 период становится мнимым, а процесс – апериодическим.
Амплитуда затухающих колебаний
                                                A = A0e − βt .
Логарифмический декремент затухания

Страницы