Математика и информатика. Филимонова Л.В - 4 стр.

                                4

      §1. Математические предложения и доказательства.

      Рассматриваемые в математике истины формулируются в виде
предложений. Главнейшие из них следующие: определения, теоремы
и аксиомы. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксиос и
означает утверждение, не вызывающее сомнений.
      Опр.1.1 Определением называется предложение, в котором разъ-
ясняется смысл нового понятия. Теорема есть предложение, справед-
ливость которого устанавливается путем некоторого рассуждения, на-
зываемого доказательством. Аксиомой называется истина, прини-
маемая без доказательства. Непосредственный вывод из аксиомы или
теоремы называется следствием.
      Пример 1.1. Следующие предложения являются определения-
ми, принятыми в математике: 1) всякое целое число, кроме единицы,
которое делится только на единицу и само на себя, называется про-
стым; 2) радианной мерой угла называется отношение длины соот-
ветствующей ему дуги окружности, для которой данный угол является
центральным, к длине ее радиуса. Аксиомой является предложение:
через любые две точки можно провести прямую и только одну. При-
мером теоремы может служить теорема Пифагора, теоремы синусов и
косинусов, теорема о трех перпендикулярах.
      В каждой теореме есть условие и заключение. Содержание ус-
ловия предполагается данным, а утверждение заключения подлежит
доказательству.
      Пример 1.2. Теорема, выражающая признак равенства тре-
угольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольни-
ка равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
      Приведенная теорема выражена в так называемой условной
форме. Часто теорема выражается в категорической форме. Напри-
мер: Вертикальные углы равны.
      Доказательство теоремы состоит в том, что путем построения
ряда умозаключений переходят от условия теоремы к ее заключению.
При этом опираются на ранее доказанные теоремы, на сформулиро-
ванные ранее определения и аксиомы. Таким образом, в основе лежит
небольшое число аксиом. Аксиомы возникли из опыта, и справедли-
вость их в совокупности, равно как и теорем, доказанных с их помо-
щью, проверяется многократными наблюдениями и длительным опы-
том.
      Рассмотрим известное определение параллелограмма: «Парал-
лелограммом называется четырехугольник, у которого противопо-
ложные стороны попарно параллельны».
      Исходя из этого определения, можно выделить несколько
свойств параллелограмма:
      1) параллелограмм имеет четыре угла;