Математика и информатика. Филимонова Л.В - 6 стр.

                                 6

      3) все новые понятия, вводимые в данной теории, должны быть
         определены через первичные термины или через ранее опре-
         деленные понятия и соотношения; все новые утверждения
         теории (термины) должны быть доказаны на основе первич-
         ных терминов или аксиом (или предшествующих теорем) пу-
         тем дедукции. Дедукция – способ рассуждения, посредством
         которых из общих посылок с необходимостью следует за-
         ключение частного характера.
      Аксиоматический метод дает возможность строгого обоснова-
ния математических теорий; устанавливает глубокие взаимосвязи ме-
жду математическими объектами, которые он характеризует.
      Рассмотрим аксиоматическую теорию построения натурального
ряда. Основными неопределяемыми понятиями будем считать: нату-
ральное число, единица, унарная (одноместная) операция «следует
за». Натуральные числа будем обозначать строчными латинскими бу-
квами: a, b, c … Единицу будем обозначать 1. Число, «следующее за»
а будем обозначать а’. Все множество натуральных чисел строится на
системе четырех аксиом:
      А1. Существует натуральное число, которое не следует ни за ка-
ким натуральным числом.
      А2. Любое натуральное число следует не более, чем за одним
натуральным числом.
      А3. Для всякого натурального числа а существует только одно
следующее за ним натуральное число а’.
      А4. (Аксиома индукции) Если М – подмножество натуральных
чисел, содержит единицу и вместе с каждым натуральным числом, со-
держащемся в М, содержит и следующее за ним натуральное число, то
М совпадает с множеством N всех натуральных чисел.
      А1-А4 – аксиомы Пеано.
      Для записи натуральных чисел пользуются символами:
      1=1, 1’ = 2, 2’=3, 3’=4 и т.д.
      Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа
приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от
натуральной переменной, для всех значений этой переменной. Дока-
зательство истинности предложения А(n) для всех значений перемен-
ной часто удается провести методом математической индукции
(ММИ), который основан на следующем принципе.
      Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных
значений переменной, если выполнены следующие два условия:
      1) предложение А(n) истинно для n=1;
      2) из предположения, что А(n) истинно для =k (где k – любое
         натуральное число), следует, что оно истинно и для следую-
         щего значения n=k+1.
    Этот принцип называется принципом математической индукции.
      Под методом математической индукции понимают следующий