Математика и информатика. Филимонова Л.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

8
Примеры
1. Доказать формулу
2
3333
2
)1(
...321
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=+++
nn
n , n∈N.
Решение:
1) При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и,
следовательно, первое условие принципа математической индукции
выполнено.
2)
Предположим, что формула верна при n=k, т.е.
.
2
)1(
...321
2
3333
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=++++
kk
k
Прибавим к обеим частям этого равенства (k+1)
3
и преобразуем
правую часть. Тогда получим
.
2
)2)(1(
)44(
2
1
1
4
)1()1(
2
)1(
)1(321
2
2
2
2
23
2
33333
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
=++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=+++++
kk
kk
k
k
k
kk
kk
kk
Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она
верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо
при любом нату-
ральном значении k. Итак, второе условие принципа математической
индукции выполнено. Формула доказана. ♦
2. Доказать, что при любом натуральном значении переменной
при n верно неравенство 2
n+2
>2n+5.
Решение:
1) при n=1 получаем верное числовое неравенство
2
1+2
>2⋅1+5, 8>7 (истинно).
2)
Предположим, что при n=k верно следующее: 2
k+2
>2k+5.
При n=k +1 получим: 2
k+3
>2(k+1)+5
2⋅2
k+2
>2k+7.
Но из предположения следует, что 2⋅2
k+2
>4k+10, тогда имеем
2⋅2
k+2
>4k+10>2k+7. Следовательно, второе условие принципа матема-
тической индукции выполнено и неравенство справедливо при любом
натуральном значении n. Ч.т.д. ♦
Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать ММИ следующие утверждения:
а) 1+2 +2
2
+ 2
3
+ … +2
n -1
= 2
n
–1;
б) (4
n
+15n –1) M 9;
в) (10
n
+18n –28) M 27;
г) (n
3
+ 11n) M 6;
д) (7
n
–1) M 6;
е) n (2n
2
– 3n +1) M 6;
ж) n
5
– n кратно 5;
з) n
7
– n кратно 7.
2. При каких натуральных значениях n верны неравенства:
а) 3
n
>2
n
+7n; b) 2
n
>n
2
+ 4n +5 ? 
                                       8

                                 Примеры
                                                           2
                                                    ⎛ n(n + 1) ⎞
      1. Доказать формулу 1 + 2 + 3 + ...n = ⎜
                             3     3       3       3
                                                               ⎟ , n∈N.
                                                    ⎝ 2 ⎠
Решение: 1) При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и,
следовательно, первое условие принципа математической индукции
выполнено.
      2) Предположим, что формула верна при n=k, т.е.
                                               2
                                 ⎛ k (k + 1) ⎞
         1 + 2 + 3 + ... + k = ⎜
           3    3 3          3
                                             ⎟ .
                                 ⎝     2     ⎠
      Прибавим к обеим частям этого равенства (k+1)3 и преобразуем
правую часть. Тогда получим
                                         2
                           ⎛ k (k + 1) ⎞                    2⎛ k        ⎞
                                                                 2

1 + 2 + 3 + k + (k + 1) = ⎜
 3   3    3   3        3
                                       ⎟ + (k + 1) = (k + 1) ⎜ + k + 1⎟ =
                                                  3

                           ⎝ 2 ⎠                             ⎝ 4        ⎠
         2                                     2
  ⎛ k + 1⎞ 2                ⎛ (k + 1)(k + 2) ⎞
=⎜       ⎟ ( k + 4 k + 4) = ⎜                ⎟ .
  ⎝ 2 ⎠                     ⎝        2       ⎠
Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она
верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом нату-
ральном значении k. Итак, второе условие принципа математической
индукции выполнено. Формула доказана. ♦
       2. Доказать, что при любом натуральном значении переменной
при n верно неравенство 2n+2>2n+5.
Решение: 1) при n=1 получаем верное числовое неравенство
          21+2>2⋅1+5, 8>7 (истинно).
          2) Предположим, что при n=k верно следующее: 2k+2>2k+5.
При n=k +1 получим: 2k+3>2(k+1)+5
                           2⋅2k+2>2k+7.
Но из предположения следует, что 2⋅2k+2>4k+10, тогда имеем
2⋅2k+2>4k+10>2k+7. Следовательно, второе условие принципа матема-
тической индукции выполнено и неравенство справедливо при любом
натуральном значении n. Ч.т.д. ♦

                 Задачи для самостоятельной работы
1. Доказать ММИ следующие утверждения:
а) 1+2 +22 + 23 + … +2 n -1= 2 n –1; д) (7 n –1) M 6;
б) (4 n +15n –1) M 9;                е) n (2n2 – 3n +1) M 6;
в) (10 n +18n –28) M 27;             ж) n5 – n кратно 5;
г) (n3 + 11n) M 6;                   з) n7 – n кратно 7.

2. При каких натуральных значениях n верны неравенства:
      а) 3 n>2 n +7n;     b) 2 n>n2 + 4n +5 ?

Страницы