Математика и информатика. Филимонова Л.В - 10 стр.

                                10

у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не
входящим в данное множество. Например, характеристическим свой-
ством натуральных чисел является возможность их использования при
счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы
указываем      характеристическое    свойство    его    элементов:
М={х∈N ⏐хM2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству,
делится на два.
      Опр.2.1.3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов,
называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.
      Опр.2.1.4 Множество, которое не содержит ни одного элемента,
называется пустым и обозначается символом ∅.
      Следует обратить внимание на то, что обиходное слово «много»
и математический термин «множество» имеют различный смысл, хотя
и звучат почти одинаково. Множество может состоять из небольшого
количества элементов. Договоримся обозначать количество элементов
в некотором множестве А через m(А). Например, если А={а, b, c}, то
m(А)=3. Если N – множество всех натуральных чисел, то m(N) = ∞.

           п.2 Подмножество. Основные числовые множества.
      Опр.2.2.1 Множество В, состоящее из некоторых элементов
данного множества А (и только из них), называется подмножеством
(частью) этого множества. Иначе, если любой элемент множества В
принадлежит также множеству А, то множество В называется под-
множеством множества А.
Это записывается так: В⊂ А или А⊃В. Говорят, что «В – подмножест-
во А» или «В содержится в А» или «А содержит В». Заметим, что
m(В) ≤ m(А).
      Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принад-
лежащий множеству А, то В не является подмножеством множества
А: В⊄А. Например, отрезок [а, b] не является подмножеством полуин-
тервала (а, b], т.к. а∈[а, b], но а∉(а, b].
      Из опр.2.2.1 следует, что любое множество является подмноже-
ством самого себя, т.е. справедливо утверждение А⊂А. Полагают
также, что пустое множество является подмножеством любого мно-
жества. Пустое множество не содержит ни одного элемента, а значит в
нем нет элемента, не принадлежащего любому другому множеству.
      Знак ⊂ называется знаком включения. Отметим основные свой-
ства отношения включения между множествами:
      1) ∅⊂А для любого множества А;
      2) А⊂А для любого множества А (рефлексивность);
      3) из того, что В⊂А не следует А⊂В (не симметричность);
      4) если А⊂В и В⊂А, то А=В (антисимметричность);
      5) если А⊂В и В⊂С, то А⊂С (транзитивность).
      Основные числовые множества: