Математика и информатика. Филимонова Л.В - 5 стр.

                                  5

      2) параллелограмм имеет четыре вершины;
      3) параллелограмм имеет две пары параллельных друг другу
         сторон.
      Но первые два свойства присущи и другим видам четырех-
угольников. Третье же свойство характеризует именно эту фигуру,
выделяет ее из множества всех четырехугольников, полностью опре-
деляет параллелограмм и позволяет его построить.
      Такое свойство математического объекта называется его харак-
теристическим свойством. Любое характеристическое свойство ма-
тематического объекта может быть принято в качестве его определе-
ния. Всякое математическое определение не является высказыванием
(относительно определения нельзя сказать, истинно оно или ложно;
оно лишь разумно выбрано из нескольких возможных определений).
Определения не доказываются.
      Пример 1.3. Известно, что корнем степени n из числа а называ-
ется число х, n-я степень которого равна а: х n = a . Обозначается
символом n а . Тогда равенство ( n а )n = а непосредственно следует из
определения и не нуждается в доказательстве.
      Основным методом построения современной математики явля-
ется аксиоматический метод. При составлении какой-либо теории
возникает необходимость в уточнении понятий, установлении связей
между ними, в сведении сложных понятий к более простым. Напри-
мер, при определении понятия диаметра окружности: “Диаметром ок-
ружности называется хорда, проходящая через центр этой окружно-
сти”. Но чтобы это определение стало до конца ясным, надо объяс-
нить термины “окружность”, “хорда”, “центр окружности”. Например,
“Окружность – это множество точек плоскости, находящихся на оди-
наковом расстоянии от точки О, называемой центром окружности”.
Теперь необходимо объяснить слова “точка”, “плоскость”, “расстоя-
ние”, “множество”. Если мы станем объяснять каждое встречающееся
слово, то этот процесс никогда не кончится. Поэтому при построении
математических теорий надо принять некоторые понятия за неопреде-
ляемые, основные понятия (первичные термины), и уже с их помощью
составлять всю теорию. Так в настоящее время за неопределяемые
понятия в математике принято считать понятия “точка”, “прямая”,
“расстояние”, “множество”, “число” и т.д.
      Аксиоматическое построение того или иного конкретного раз-
дела математики осуществляется следующим образом:
      1) отбираются так называемые первичные термины – конечное
         число понятий и соотношений между этими понятиями, ко-
         торые в рамках данной теории не определяются;
      2) выделяются некоторые первичные утверждения – аксиомы,
         устанавливающие связь между первичными понятиями и со-
         отношениями (и косвенно определяющие их), принимаемые
         за истинные без доказательства;