Обработка и передача сигналов в системах дистанционного управления. Финаев В.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

46
Коэффициенты F
0
, F
n
и F
-n
спектра разложения определяются по
формулам
dt)t(fF
Tt
t
0
0
0
∫
+
=
;
dte)t(fF
Tt
t
tjn
n
0
0
0
∫
+
ω−
=
;
dte)t(fF
Tt
t
tjn
n
0
0
0
∫
+
ω
−
=
. (1.6)
Учитывая, что
tjn
0
e
ω
=cosnω
0
t+jsinnω
0
t,
tjn
0
e
ω−
=cosnω
0
t-jsinnω
0
t,
подставив выражения экспонент, выраженных через тригонометрические
функции, в ряд (1.5), получим формулы, устанавливающие связи между
коэффициентами a
n
, b
n
и F
n
:
а
0
=F
0
, a
n
=F
n
+F
-n
, b
n
=j(F
n
+F
-n
), F
n
=0,5(a
n
-jb
n
), F
-n
=0,5(a
n
+jb
n
).
Для формулы (4.1) определим коэффициенты a
k
=c
k
cosϕ
k
, b
k
=c
k
sinϕ
k
,
тогда, учитывая, что
2
k
2
k
2
kk
22
kk
22
k
cbasinccosc =+=ϕ+ϕ
, получим
2
k
2
kk
bac +=
, tgϕ
k
=b
k
/a
k
.
Ряд (1.1) можно записать в вещественной форме (обобщенный ряд
Фурье):
∑
∞
=
ϕ−ω+=
1k
k0k0
)tkcos(cc)t(f
, (1.7)
где c
k
, ϕ
k
, kω
0
- соответственно амплитуда, фаза и частота k–ой гармоники.
Угловая частота основной гармоники равна ω
0
=2π/T.
Рассмотрим пример разложения f(t)=At , (0<t<1) на [0,1], Т=1,
ω
0
=2π/T=2π, t
0
=0. Тогда f(t)=a
0
+a
1
cos2πt +a
2
cos4πt +…+b
1
sin2πt +b
2
sin4πt
+… . Коэффициенты разложения определятся по формулам:
∫
==
1
0
0
2
A
Atdta
,
[]
∫
=ππ+π
π
=π=
1
0
1
0
22
n
0 nt2sinn2nt2cos
n2
A
ntdt2cosAt
1
2
a
,
[]
∫
π
−=ππ−π
π
=π=
1
0
1
0
22
n
n
A
nt2cosn2nt2sin
n2
A
ntdt2sinAt
1
2
b
.
Разложение f(t) в ряд Фурье примет вид
∑
∞
=
π
π
−=−π
π
−π
π
−=
1n
t2nsin
n
A
2
A
...t4sin
2
A
t2sin
A
2
A
)t(f
.
Разложение этой же функции f(t) в экспоненциальный ряд Фурье будет
иметь вид
F
0
=А/2,
n2
jA
F
n
π
=
,
∑
∞
∞−
π
π
+=
nt2j
e
n
1
2
jA
2
A
)t(f
.
1.2. Представление произвольной периодической функции
рядом Фурье

Страницы