ВУЗ:
Составители:
47
Пусть функция f(t) существует на бесконечном интервале
времени (-∞<t<∞). Функция f(t) представима рядом Фурье на интервале
(t
0
,t
0
+T). Если f(t) - периодическая функция, то покажем, что представление
ее в виде ряда применимо ко всему интервалу (-∞,∞).
На интервале (t
0
,t
0
+T) функция имеет разложение
∑
∞
−∞=
ω
=
n
tjn
n
0
eF)t(f
, (1.8)
а вне интервала правая и левая части равенства (1.8) могут не совпадать.
Однако правая часть этого равенства является периодической функцией с
периодом
)Tt(jntjn
00
ee
+ωω
=
.
Поэтому если f(t) - периодическая функция с периодом T=2π/ω
0
, то
равенство (1.8) справедливо для всего интервала (-∞,∞). Выбор величины t
0
не является существенным фактором.
1. 3. Комплексный спектр сигнала
Разложение периодической функции f(t) с периодом Т показывает, что
она имеет частотные составляющие с угловыми частотами ω
0
, 2ω
0
, 3ω
0
, …,
nω
0
, … . Периодическая функция обладает своим спектром частот. Если
известна f(t), то можно определить спектр и наоборот, по спектру найти f(t).
Следовательно, возможно временное и частотное представление функции
f(t). При частотном представлении сигнала применяют спектр амплитуд и
спектр фаз гармоник. Это дискретные (линейчатые) спектры, которые
изображаются графически.
Применение разложения в экспоненциальный ряд
является более
предпочтительным. Периодическая функция выражается суммой
экспоненциальных функций с частотами 0, ±ω
0
, ±2ω
0
и т.д.
Значение отрицательных частот имеет следующее объяснение. Сигналы
e
jωt
и e
-jωt
изменяются с одинаковой частотой ω. Их можно представить двумя
векторами, вращающимися в противоположных направлениях. Эти вектора
при сложении дают действительную функцию времени e
jωt
+ e
-jωt
=2cosωt.
Коэффициент F
n
является комплексным и характеризуется величиной и
фазой, поэтому для частотного представления необходимы два спектра –
спектр амплитуд и спектр фаз.
Рассмотрим пример. Пусть f(t)=|Asinπt|. Разложение f(t) в комплексный
ряд имеет вид
∑
∞
−∞=
ω
=
n
tjn
n
0
eF)t(f , ω
0
=2π, Т=1,
)1n4(
A2
dtePtsinAF
2
nt2j
1
0
n
−π
−
==
π−
∫
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
