Метод контрольного объёма на неструктурированной сетке в вычислительной механике - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Здесь стоит отметить, что в случае использования формулы (2.8)
для вычисления производных на структурированной сетке, состоящей
из кубических элементов, мы получаем обычную конечно-разностную
схему, ориентированную на вычисление величин в центрах кубиче-
ских элементов.
§ 2.2. Локальная интерполяция MUSCL второго по-
рядка точности
Воспользовавшись формулой Тейлора, второго порядка точности:
u
x
=u
x
i
x−x
i
⋅∇ u x
i
O
∣x− x
i
∣
2
, (2.10)
мы можем интерполировать решение в любую точку внутри контроль-
ного объема со вторым порядком точности. Задача сводится к аппрок-
симации градиента с порядком точности не меньше первого.
Здесь необходимо отметить, что при использовании аппроксима-
ции градиента даже первого порядка точности в формуле (2.10) дает
второй порядок точности за счет скалярного умножения градиента на
x−x
i
:
u
x
=u
x
i
x−x
i
⋅
∇ u
i
O
1
∣x− x
i
∣
O
∣x−x
i
∣
2
=
u
x
i
x−x
i
⋅
∇ u
i
x−x
i
⋅O
1
∣x−x
i
∣
O
∣x −x
i
∣
2
=
u
x
i
x−x
i
⋅
∇ u
i
O
2
∣x−x
i
∣
2
,
здесь
∇ u
i
- аппроксимация градиента
u x
в центре масс элемента
T
i
,
.
Для аппроксимации градиента в формуле (2.10) можно воспользо-
ваться в том числе и формулой для градиента из пункта 2.1. На практи-
ке чаще всего используют аппроксимацию градиента первого порядка
точности, учитывающую разрывы решения и использующую для ап-
проксимации не все соседние элементы [23]. Идея такой аппроксима-
ции продемонстрирована на рис. 2.3. Для аппроксимации градиента с
первым порядком мы можем использовать как сам контрольный
объём как в пункте 2.1, так и дополнительные элементы, построенные
на центрах масс соседних элементов (рис. 2.3).
Для случая если сетка содержит только двумерные элементы (тре-
угольники и четырехугольники) объемы как и на рис. 2.3 будут тре-
угольниками. В случае использования трехмерных элементов (тетраэд-
ров, призм, пирамид и шестигранников) градиенты будут вычислены
на тетраэдрах. В итоге мы имеем несколько градиентов для одной точ-
ки. Для исключения колебаний решения вокруг областей с большими
27

Страницы