ВУЗ:
Составители:
Для численного решения проблемы (2.12) разобъём область
на
множество контрольных объемов, совпадающих с элементами сетки:
= ∪
i=1
N
T
i
. В центре масс
x
i
каждого элемента
T
i
будем вычислять
неизвестное значение функции
u x
.
С использованием законов сохранения применим на каждом
контрольном объеме
T
i
теорему Стокса:
1
V
i
∫
T
i
∇
2
u xdx =
1
V
i
∮
∂T
i
n⋅∇ u x ds
, (2.13)
здесь под
V
i
будем понимать объем элемента
T
i
. Обозначим через
T
i
k
грани контрольного объема
T
i
, имеющие площадь
S
i
k
, где
k =1... m
i
. Тогда выражение (2.13) мы можем переписать следующим
образом:
1
V
i
∮
∂T
i
n⋅∇ u x ds=
1
V
i
∑
j=1
m
i
∫
T
i
j
n
i
j⋅∇ u xdS
. (2.14)
В итоге наша задача сводится к аппроксимации интеграла (2.14) по
грани
T
i
j
.
Чтобы рассмотреть подробнее аппроксимацию интеграла (2.14),
обратимся к рис. 2.1. На этом рисунке показаны два смежных тетраэд-
ра
T
i
и
T
i
j
. Отложим по нормали
n
i
j
к грани
T
i
j
равные от-
резки влево и в право. Зная значение в центрах масс контрольных
объемов, с использованием (2.10), можем проинтерполировать значе-
ния в точки
x
i
j
i
и
x
i
i
j
, которые равноудалены от центра масс
x
i, j
об-
щей грани. Следует отметить, что вектор
x
i
j
i
−x
i
i
j
параллелен нормали
к грани между двумя тетраэдрами.
Используя значения в точках
x
i
j
i
и
x
i
i
j
, мы можем записать ап-
проксимацию производной по нормали, которая будет иметь второй
порядок точности:
n
i
j ⋅∇ u x
i , j
=
∂
∂ n
i
j
u x
i , j
≈
u x
i
j
i
−u x
i
i
j
2
i
j
, (2.15)
здесь
i
j
=min∣ x
i
−x
i , j
⋅n
i
j∣,∣ x
i
j
−x
i, j
⋅n
i
j∣
,
x
i
j
i
=x
i, j
i
j
n
i
j
,
x
i
i
j
=x
i, j
−
i
j
n
i
j
.
Воспользовавшись формулой (2.8) для аппроксимации производных в
градиенте, совместно с формулой (2.15) мы имеем:
29
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
