Составители:
33
x
Δ
y
Δ
x
Δ
y
Δ
Рисунок 4.1 Функция пространственной дискретизации изображения.
Сверткой двух функций называется функция, определяемая
соотношением:
() ( )
ξξ−ξ=
∫
∞
∞−
dxff)x(f
21
. (4.5)
Прямое преобразование Фурье от этой функции:
() ( ) ( )
dxxidxffF ω−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ξξ−ξ=ω
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
exp)(
21
.
Изменим порядок интегрирования по теореме Фубини [27]:
() ( ) ( )
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ξω−ξ−ξ=ω dxdxixffF exp)(
21
.
Выполним замену переменной
η
=
ξ
−
x
; при этом η
=
ddx :
() () ( )()
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
=ηξη+ξω−ηξ=ω ddiff)(F exp
21
() ( ) () ( )
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ηωη−ηξωξ−ξ= difdif expexp
21
=
(
)
(
)
ω
ω
21
FF . (4.6)
Из (4.6) следует, что спектр функции, полученной в результате свертки
двух функций, равен произведению спектров этих функций.
(Произведение спектров вычисляется их поэлементным умножением). И,
обратно, обратное преобразование Фурье от произведения спектров двух
функций равно свертке этих двух функций. И, наоборот, свертка спектров
в частотной области приводит к умножению в пространственной области
.
Верно и обратное утверждение: умножение функций в пространственной
области приводит к свертке их спектров в частотной области [28].
Для двумерного случая имеют место аналогичные соотношения по теореме
о свертке:
)()()()(
2121 yxyx
,F,Fy,xf*y,xf
ω
ω
ω
ω⇔ ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
