Составители:
34
)()()(*)(
2121
y,xfy,xf,F,F
yxyx
⇔ωωωω . (4.7)
В соответствии с теоремой о свертке, спектр дискретного изображения
равен свертке спектров непрерывной функции изображения и спектра
дискретизирующей функции:
() ()
(
)
yxyxIyx
,S*,F,F ωωωω
π
=ωω
2
4
1
. (4.8)
Преобразование Фурье от дельта-функции )(
ymy,
x
n
x
Δ−
Δ
−
δ
равно
(
)
ysyxsx
m,n ω−ωω−ωδ . Преобразование Фурье от дискретизирующей
функции (4.1)
(
)
yx
,S ωω =
()()
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
ωΔ+ωΔ−
mn
yx
ymxniexp . (4.9)
По теореме Пуассона [27]:
()()( )
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
Δπ−ωδΔπ=ωΔ−
n
x
j
xx
x/nx/ij 22exp . (4.10)
В соответствии с (4.10) из (4.9) получим спектр дискретизирующей
функции:
(
)
yx
,S ωω =
()
()
()
∑∑
∞
−
∞=
∞
−
∞
=
ω−ωω−ωδΔΔπ
mn
ysyxsx
m,nyx/
2
4 , (4.11)
где
x/
x
s
Δπ=ω 2, y/
ys
Δ
π=ω 2.
Предположим, что спектр исходного непрерывного изображения
ограничен по ширине так, что
0),( =ωω
yxI
F
при
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ω>ω
ω>ω
yсy
x xс
.
Вычисляя свертку согласно (4.8) найдем
()( )
βαω−βω−αδβ−ωα−ω
ΔΔ
=ωω
∑∑
∫∫
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
∞−
∞
∞−
ddm,n,F
yx
,F
mn
ysxsyxIyx
1
)(
.
Меняя порядок операций суммирования и интегрирования и учитывая
основное свойство
δ- функции, получаем выражение для спектра
дискретизованного изображения:
()
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
ω−ωω−ω
ΔΔ
=ωω
mn
ysyxsxIyx
m,nF
yx
,F
1
)( . (4.12)
Cпектр дискретизованного изображения получается путем
бесконечного повторения спектра исходного изображения со сдвигом на
величины, кратные (
x
/
Δπ2,y
/
Δ
π
2). Повторение спектра для сечения по
строке показано на рисунке 4.2. Следует отметить, что при выборе
x
Δ
и
yΔ слишком большими, соседние спектры будут перекрываться друг с
другом.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
