Компьютерная обработка и распознавание изображений. Фисенко В.Т - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

13
распространенным видом интерполяции является полиномиальная
интерполяция. При интерполяции полиномами нулевой степени значение
)(
x
f
определяется значением функции в ближайшем отсчете.
При линейной интерполяции (рис.2.3) значение функции
интерполируется полиномом первой степени
)
x
(
ϕ
()
[]
[
][]
()
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
ixxixix/ifififx
i
−
×
−
+
−++=ϕ 11
. (2.1)
Функция должна быть непрерывной:
[]
()
[
]
()
ixix
ii 1+
ϕ=ϕ , i=0,1,..,N-1 (2.2)
Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в (2.1) x=x[i] для
вычисления )(x
i
ϕ и )(
1
x
i+
ϕ . Если положить 1][]1[ =−
+
=
Δ
i
x
i
x
x
, то
() ( )
[] [ ]
11 ++−=ϕ ixfifxx
i
,
x
i
x
x
i
Δ
+
≤
≤
Δ
)1(.
Использование полиномов низкой степени позволяет избежать
многочисленных нестабильностей, возникающих при применении
полиномов высоких степеней. Но они не являются гладкими кривыми.
Полином третьей степени, называемый кубическим сплайном, описывает
кривую наименьшей степени, имеющую точку перегиба и имеющую
возможность изгибаться. Обозначим
i
yif
=
][. Глобальный кубический
сплайн должен удовлетворять следующим условиям:
ϕ
(x
i
) = y
i
, i=0,…,N-1. (2.3)
ϕ
i
(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∉
∈
+
+
] ;[ 0,
][ ,)( + )( + )( +
1
32
ii
1iiiiiiiii
xxx
; xxxx-xdx-xcx-xba
. (2.4)
ϕ=
∑
−
=
ϕ
2
0
N
i
i
.
На каждом i-том отрезке [x
i
; x
i+1
] коэффициенты полинома a
i
, b
i
, c
i
, d
i
разные.
Условие непрерывности функции:
ϕ
i
(x
i+1
) = ϕ
1+i
(x
i+1
), i=1,…,N-3. (2.5)
Условие непрерывности первой производной функции
ϕ
(x):
)x()x(
iii 111
i
+++
ϕ
′
=ϕ
′
, i=0,…,N-3 (2.6)
Условие непрерывности второй производной функции
ϕ
(x):
() ()
111 +++
ϕ
′′
=ϕ
′′
iiii
xx , i=0,…,N-3. (2.7)
Условие равенства нулю вторых производных функции на концах отрезка
[x
0
; x
N-1
], т.е.
()
0
0
=ϕ
′′
x
, (2.8)
()
0
1
=ϕ
′′
−N
x . (2.9)
Величины коэффициентов
a
i
, b
i
, c
i
, d
i
находятся из решения системы,
составленной из уравнений (2.3)-(2.9)
Из (2.4) производные функции
i
ϕ
равны
() ( ) ( )
2
32
iiiiii
xxdxxcbx −+−+=ϕ
′
,

Страницы