ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
177
[ ]
0
( )
lim ( )
x
x x
x
ψ
→
ϕ
(Д.3.9)
(предполагается, что
( ) 0
x
ϕ >
; в качестве предельной точки может выступать
+∞
или
−∞
) могут возникать неопределённо-
сти следующих типов:
1
∞
,
0
0
,
0
∞
. (
Д
.3.10)
(
неопределённость
типа
1
∞
в
некоторых
случаях
может
быть
раскрыта
с
помощью
второго
замечательного
предела
).
Каждая
из
неопределённостей
типа
(
Д
.3.10)
сводится
к
неопределённости
типа
0
⋅∞
,
которая
,
в
свою
очередь
,
сводится
к
неопределённости
типа
0
0
или
∞
∞
(
см
.
лекцию
12),
а
последние
две
неопределённости
можно
раскрыть
с
помощью
правила
Лопиталя
:
1
∞
,
0
0
,
0
0
∞ → ⋅∞
0
0
∞
∞
. (
Д
.3.11)
Действительно
,
пусть
[ ]
( )
( )
x
y x
ψ
= ϕ
. (
Д
.3.12)
Тогда
в
силу
равенства
ln ln
m
b m b
=
ln ( )ln ( )
y x x
= ψ ϕ
. (
Д
.3.13)
В
силу
основного
логарифмического
тождества
lnb
e b
=
получаем
:
0
0
ln lim
lim
x x
y
x x
y e
→
→
=
. (
Д
.3.14)
В
силу
непрерывности
логарифмической
функции
0 0
ln lim lim ln
x x x x
y y
→ →
=
. (
Д
.3.15)
Из
(
Д
.3.14)
и
(
Д
.3.15)
следует
,
что
0
0
lim ln
lim
x x
y
x x
y e
→
→
=
. (
Д
.3.16)
Из
(
Д
.3.16)
видно
,
что
для
нахождения
предела
показательно
-
степенной
функции
достаточно
найти
предел
логарифма
этой
функции
.
Если
функция
(
Д
.3.12)
представляет
собой
при
0
x x
→
любую
из
неопределённостей
типа
(
Д
.3.10),
то
функция
(
Д
.3.13)
представляет
собой
в
этой
точке
0
x
неопределённость
типа
0
⋅∞
.
Пример Д.3.4.
Вычислить
( )
sin
0
lim ctg
x
x
x
→
.
Решение
.
( )
(
)
sin
0
0
lim ctg
x
x
A x
→
= = ∞ =
( )
sin
ctg
x
y x=
,
(
)
ln sin ln ctg
y x x
= ⋅
,
(
)
(
)
0 0
lim ln lim sin ln ctg 0
x x
B y x x
→ →
= = ⋅ = ⋅∞ =
( )
( )
[ ]
0 0
ln ctg
ln ctg
lim lim
1/sin
1/sin
x x
x
x
x
x
→ →
′
∞
= = = =
∞
′
( )
(
)
( )
2
2 2
2
0 0
1/ ctg 1/ sin
sin 0
lim lim 0
cos 1
1/sin cos
x x
x x
x
x
x x
→ →
−
= = = =
−
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
