Математический анализ I. Фомин В.И. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

176
Замечание Д.3.2.
В некоторых случаях применение правила Лопиталя не приводит к желаемому результату.
Пример Д.3.1. Найти
2ch
lim
x
x
x
e
→+∞
.
Решение
.
( )
( )
2ch
2ch 2sh
lim lim lim
x x
x x x
x
x
x x
A
e e
e
→+∞ →+∞ →+∞
′
∞ ∞
= = = = = =
∞ ∞
′
( )
( )
2sh
2ch
lim lim ...
x
x x
x
x
x
e
e
→+∞ →+∞
′
= = =
′
.
Данный предел можно вычислить непосредственно:
2
2ch 1
x x
x x x
x x x
x e e
A
e e e
−
→+∞ →+∞ →+∞
+
= = = + = + =
.
Замечание Д.3.3.
При применении правила Лопиталя вопросы о дифференцируемости соответствующих функций и
существовании предела отношения их производных решаются непосредственно в ходе вычислений.
Замечание Д.3.4.
После применения правила Лопиталя целесообразно упростить полученное отношение производных.
В частности, если в отношении производных удаётся выделить множитель, имеющий конечный ненулевой предел в рас-
сматриваемой предельной точке, то следует применить теорему о пределе произведения функций (см. теорему 12.2).
Пример Д.3.2. Найти
(
)
( )
0
ln cos2
lim
ln cos3
x
x
x
→
.
Решение
.
( )
( )
( )
( )
0 0
ln cos2
ln cos2
0
lim lim
ln cos3 0
ln cos3
x x
x
x
A
x
x
→ →
′
= = = =
′
( )
( )
0 0
1
sin 2 2
2 cos3 sin 2
cos 2
lim lim
1
3 cos2 sin 3
sin3 3
cos3
x x
x
x x
x
x x
x
x
→ →
− ⋅
= = ⋅ =
− ⋅
0 0 0
2 cos3 sin 2 2 1 sin 2 0
lim lim lim
3 cos2 sin 3 3 1 sin3 0
x x x
x x x
x x x
→ → →
= ⋅ = ⋅ ⋅ = =
( )
( )
0 0 0
sin 2
2 2 cos2 2 4 cos 2 4 1 4
lim lim lim
3 3 cos3 3 9 cos3 9 1 9
sin 3
x x x
x
x x
x x
x
→ → →
′
⋅
= = = = ⋅ =
⋅
′
;
4
9
A
=
.
Замечание Д.2.5.
Если в ходе применения правила Лопиталя выясняется, что предел отношения производных функций
не существует, то это вовсе не означает, что предел отношения самих функций тоже не существует (в этом случае правило
Лопиталя нельзя применять из-за невыполнимости условия 4) соответствующей теоремы).
Пример Д.3.3. Вычислить
sin
lim
x
x x
x
→+∞
+
.
Решение
. Отношение
(
)
sin /
x x x
+
представляет собой при
x
→ +∞
неопределённости типа
∞
∞
, но правило Лопиталя
применять нельзя, ибо предел отношения производных
( )
sin
1 cos
1 cos
( ) 1
x x
x
x
x
′
+
+
= = +
′
при
x
→ +∞
не существует. Данный предел можно найти непосредственно:
sin sin
lim lim 1 1 0 1
x x
x x x
x x
→+∞ →+∞
+ ∞
= = + = + =
∞
.
При вычислении предела показательно-степенной функции, т.е. предела вида

Страницы