Математический анализ I. Фомин В.И. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

174
Формулу (Д.2.12) удобно применять при нахождении производных функций, содержащих большое число сомножите-
лей.
Пример Д.2.4. Найти производную функции
5
6
4 7
( 1)
( 2) ( 5)
x
y
x x
−
=
+ −
.
Решение
.
5
4 7
6
( 1) ( 2) ( 5)
y x x x
− −
= − + −
,
5
ln ln( 1) 4ln( 2) 7ln( 5)
6
y x x x
= − − + − −
,
( )
5
ln ln( 1) 4ln( 2) 7ln( 5)
6
y x x x
′
= − − + − −
,
1 5 1 1 1
4 7
6 1 2 5
y
y x x x
′
= ⋅ − ⋅ − ⋅
− + −
,
5 4 7
6( 1) 2 5
y y
x x x
′
= − −
− + −
,
5
6
4 7
( 1)
5 4 7
6( 1) 2 5
( 2) ( 5)
x
y
x x x
x x
−
′
= − −
− + −
+ −
.
Д о п о л н е н и е 3. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ.
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
ТИПА
1
∞
,
0
0
,
0
∞
При
вычислении
пределов
вида
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
(
Д
.3.1)
могут
возникать
неопределённости
типа
0
0
или
∞
∞
(
см
.
лекцию
12).
Для
раскрытия
таких
неопределённостей
используется
правило
Лопиталя
,
выражаемое
следующими
утверждениями
.
Теорема Д.3.1.
Пусть
функции
( )
f x
и
( )
g x
удовлетворяют
следующим
условиям
:
1)
( )
f x
и
( )
g x
определены
и
дифференцируемы
в
некоторой
0
( )
O x
δ
&
;
2)
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
=
,
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
=
;
3)
( ) 0
g x
′
≠
,
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
;
4)
существует
(
конечный
или
бесконечный
)
предел
отношения
производных
0
( )
lim
( )
x x
f x
A
g x
→
′
=
′
. (
Д
.3.2)
Тогда
существует
предел
вида
(
Д
.3.1)
и
0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
f x f x
A
g x g x
→ →
′
= =
′
. (
Д
.3.3)
Заметим
,
прежде
всего
,
что
отношение
( ) / ( )
f x g x
определено
в
0
( )
O x
δ
&
,
ибо
из
условия
3)
следует
,
что
( ) 0
g x
≠
,
0
( )
x O x
δ
∀ ∈
&
. (
Д
.3.4)
Действительно
, :
* 0
( ) |
x O x
δ
∃ ∈
&
*
( ) 0
g x
=
.
Пусть
,
для
определённости
,
* 0
x x
>
.
Рассмотрим
функцию
вида
0
0
( ), ( ),
( )
0, .
g x x O x
g x
x x
δ
∈
=
=
&
%
(
Д
.3.5)
Функция
( )
g x
%
непрерывна
в
точке
0
x
,
т
.
е
.
0
0
lim ( ) ( )
x x
g x g x
→
∃ =
% %
,
ибо
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
g x g x
→ →
= =
%
в
силу
условия
2)
и
0
( ) 0
g x
=
%
по
определению
.
Таким
образом
,
функция
( )
g x
%
непрерывна
в
0
( )
O x
δ
(
её
непрерывность
в
0
( )
O x
δ
&
вытекает
из
;

Страницы