Математический анализ I. Фомин В.И. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

172
Получили:
2
3
24 1
,
15 7
5 7 ,
x
t
y
t
t
x t t
+
′
=
∈
+
= +
R
.
Пусть переменные
,
x y
связаны соотношением
( , ) 0
F x y
=
. (Д.2.3)
Пусть для любого
x D
∈
, где
D
R
, соотношение (Д.2.3) однозначно разрешимо относительно
y
. Тогда можно рас-
смотреть функцию
( )
y y x
=
, которая каждому
x D
∈
ставит в соответствие корень
y
уравнения (Д.2.3). В этом случае гово-
рят, что соотношение (Д.2.3) задаёт
неявную функцию
( )
y y x
=
.
Геометрическая иллюстрация неявной функции представлена на рис. Д.2.2.
Рис. Д.2.2
Заменяя в (Д.2.3)
y
на
( )
y x
, получаем тождество относительно
x D
∈
:
(
)
, ( ) 0
F x y x
=
. (Д.2.4)
Пусть функция
( )
y y x
=
дифференцируема на
D
. Тогда для нахождения её производной
y
′
надо обе части тождества
(Д.2.4) продифференцировать по
x
(применяя при этом правило дифференцирования сложной функции) и из полученного
уравнения найти
y
′
.
Пример Д.2.2.
Пусть неявная функция
( )
y y x
=
задана соотношением
2 5 2 3
7 0
x y y x
+ − =
. (Д.2.5)
Дифференцируя обе части (Д.2.5) по
x
, считая при этом
y
функцией аргумента
x
, получаем:
5 2 4 2
2 5 7 2 3 0
xy x y y yy x
′ ′
+ ⋅ + ⋅ − =
,
(
)
2 4 2 5
5 14 3 2
y x y y x xy
′
+ = −
,
2 5
2 4
3 2
5 14
x xy
y
x y y
−
′
=
+
при условии, что
2 4
5 14 0
x y y
+ ≠
.
Рассмотрим показательно-степенную функцию
[ ]
( )
( )
x
y x
ψ
= ϕ
, (Д.2.6)
( )x D y
∈ ⊆
R
(предполагается, что
( ) 0
x
ϕ >
,
( )
x D y
∀ ∈
). Эту функцию можно записать в виде
( )ln ( )
x x
y e
ψ ϕ
=
. (Д.2.7)
Замечание Д.2.1
. Если функции
( )
x
ϕ
и
( )
x
ψ
непрерывны на некотором множестве
( )
D D y
⊆
, то функция (Д.2.6) не-
прерывна на
D
.
Действительно, в силу теоремы 13.6 логарифмическая функция непрерывна на своей области определения. Тогда в силу
следствия 13.5 сложная функция
ln ( )
x
ϕ
непрерывна на
D
. Значит, в силу следст- вия 13.1 функция
( )ln ( )
x x
ψ ϕ
непрерывна

Страницы