Математический анализ I. Фомин В.И. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

171
ной переменной
t
(переменная
t
называется параметром). В этом случае функцию
(
)
1
( )
y x
−
= ψ ϕ
называют
параметрически
заданной функцией
и обозначают
( ),
( ),
x t
t T
y t
= ϕ
∈
= ψ
.
Геометрическая иллюстрация параметрически заданной функции представлены на рис. Д.2.1.
Рис. Д.2.1
Пусть функция
( )
= ϕ
, будучи строго монотонной на
T
, дифференцируема на
T
и
( ) 0
t
′
ϕ ≠
,
t T
∀ ∈
. Тогда в силу
теоремы 16.3 обратная для неё функция
1
( )
t x
−
= ϕ
дифференцируема на
(
)
( )
1
D T
−
ϕ = ϕ
и
( )
1
1
( )x
t
−
′
ϕ =
′
ϕ
.
Пусть функция
( )
y t
= ψ
дифференцируема на
T
. Тогда, в силу следствия 16.2, сложная функция
(
)
1
( )
y x
−
= ψ ϕ
диффе-
ренцируема на
(
)
( )
1
D T
−
ϕ = ϕ
и по правилу дифференцирования сложной функции
1
1 ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
t
y t x t
t t
−
′
ψ
′
′ ′ ′
= ψ ϕ = ψ ⋅ =
′ ′
ϕ ϕ
.
Получили:
( )
,
( )
( ),
x
t
y
t
t T
x t
′
ψ
′
=
′
ϕ
∈
= ϕ
, (Д.2.1)
т.е. производная параметрически заданной функции является параметрически заданной функцией.
Соотношения (Д.2.1) можно записать в виде
,
( ),
t
x
t
y
y
x
t T
x t
′
′
=
′
∈
= ϕ
. (Д.2.2)
Пример Д.2.1. Пусть
3
2
5 7 ,
12 ,
x t t
t
y t t
= +
∈
= +
R
.
Функции
( )
=
,
( )
y y t
=
дифференцируемы на
R
, при этом функция
( )
=
возрастает на
R
и
2
( ) 15 7 0
t t
′
ϕ = + ≠
,
t
∀ ∈
R
. Следовательно, применима формула (Д.2.2), в силу которой
( )
( )
2
2
3
12
24 1
15 7
5 7
t
x
t
t t
y
t
y
x
t
t t
′
+
′
+
′
= = =
′
′
+
+
.

Страницы