Математический анализ I. Фомин В.И. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

170
0
( ) ~ ( )
x x
x x
→
α β
(
)
0
( ) ( ) ( )
x x
x x o x
→
⇔ α − β = α
,
(
)
0
( ) ( ) ( )
x x
→
α −β = β
.
Замечание Д.1.2.
При отыскании предела отношения двух б.м.в.
( )
x
α
,
( )
x
β
в точке
0
x
, т.е. при раскрытии неопреде-
лённости типа
0
0
, каждую из этих величин можно заменить эквивалентной ей б.м.в. при
0
x x
→
, ибо такая замена не влияет
на существование и величину исходного предела.
Действительно, пусть
0
1
( ) ~ ( )
x x
x x
→
α α
,
0
1
( ) ~ ( )
x x
x x
→
β β
, т.е.
0
1
( )
lim 1
( )
x x
x
x
→
α
=
α
,
0
1
( )
lim 1
( )
x x
x
x
→
β
=
β
. (Д.1.5)
Тогда из представления
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x
x x x x
α α
α β
=
β α β β
и условия (Д.1.5) видно, что если не существует предел отношения
1 1
( ) / ( )
x x
α β
в точке
0
x
, то не существует предел отно-
шения
( ) / ( )
x x
α β
в этой точке. Из представления
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x
x x x x
α β
α α
=
β α β β
видно, что если
0
1
1
( )
lim
( )
x x
x
A
x
→
α
∃ =
β
,
то
0 0
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
x x
x x
x x x x
→ →
α β
α α
∃ = =
β α β β
0 0 0
1 1
1 1
( ) ( )
( )
lim lim lim 1 1
( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x
x
A A
x x x
→ → →
α β
α
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
α β β
.
Пример Д.1.7. Найти
3 2
0
sin 5
lim
6 3
x
x
x x x
→
+ +
.
Решение
. Функции
( ) sin5
x x
α =
,
3 2
( ) 6 3
x x x x
β = + +
есть б.м.в. в точке
0
0
x
=
, ибо
0
lim sin 5 0
x
x
→
=
,
(
)
3 2
0
lim 6 3 0
x
x x x
→
+ + =
.
Заметим, что
0
( ) ~ 5
x
x x
→
α
,
0
( ) ~ 3
x
x x
→
β
, ибо
0 0
5
sin 5 sin
lim lim 1
0, 0
5
x u
u x
x u
x u
x u
→ →
=
= = =
→ →
,
(
)
3 2
2
0 0
6 3
lim lim 2 1 1
3 3
x x
x x x
x
x
x
→ →
+ +
= + + =
.
Тогда согласно замечанию Д.1.2
3 2
0 0 0
sin 5 0 5 5 5
lim lim lim
0 3 3 3
6 3
x x x
x x
x
x x x
→ → →
= = = =
+ +
.
Д о п о л н е н и е 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ,
НЕЯВНЫХ И ПОКАЗА-
ТЕЛЬНО-
СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть заданы две функции
( )
x t
= ϕ
,
( )
y t
= ψ
одной независимой переменной
t T
∈
, где
T
⊆
R
. Пусть функция
( )
x t
= ϕ
строго монотонна на
T
. Тогда в силу теоремы 9.1 существует обратная для неё функция
1
( )
t x
−
= ϕ
, определённая и
строго монотонная на
(
)
( )
1
D T
−
ϕ = ϕ
(
(
)
T
ϕ
– образ множества
T
при отображении
ϕ
). Функция
(
)
1
( ) ( )
y t x
−
= ψ = ψ ϕ
представляет собой сложную функцию, задающую зависимость переменной
y
от переменной
x
посредством промежуточ-

Страницы