Математический анализ I. Фомин В.И. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

169
Определение Д.1.4. Б.м.в.
( )
x
α
называется б.м.в.
низшего
(или
более низкого
)
порядка малости
по сравнению с б.м.в.
( )
x
β
при
0
x x
→
, если
0
( )
lim
( )
x x
x
x
→
α
= ∞
β
.
Пример Д.1.5. Функции
( )
2
x xα = −
,
( )
4
( ) 3
x xβ = −
есть б.м.в. в точке
0
3
x
=
. Заметим, что
( )
x
α
является б.м.в.
низшего порядка малости по сравнению с б.м.в.
( )
x
β
при
3
x
→
, ибо
( )
( ) ( )
2
4 2
3 3 3
3
( ) 1
lim lim lim
( )
3 3
x x x
x
x
x
x x
→ → →
−
α
= = = +∞
β
− −
.
Пусть
k
∈
R
,
0
k
>
.
Определение Д.1.5. Б.м.в.
( )
x
α
называется б.м.в.
k-го порядка малости по
сравнению с б.м.в.
( )
x
β
при
0
x x
→
, если
б.м.в.
( )
x
α
и
[ ]
( )
k
x
β
являются б.м.в. одного порядка малости при
0
x x
→
, т.е.
∃
конечный
[ ]
0
( )
lim
( )
k
x x
x
B
x
→
α
=
β
,
0
B
≠
.
Пример Д.1.6. Функции
4 3
( ) 7
x x x
α = +
,
2
( )
x x
β =
есть б.м.в. в точке
0
0
x
=
. Заметим, что
( )
x
α
является б.м.в. поряд-
ка малости
3
2
k
=
по сравнению с б.м.в.
( )
x
β
при
0
x
→
, ибо
[ ]
( )
( )
4 3 4 3
3 3 3
0 0 0 0
2
2 2
( ) 7 7
lim lim lim lim 7 7 0
( )
x x x x
x x x x x
x
x
x
x
→ → → →
α + +
= = = + = ≠
β
.
Теорема Д.1.1. Если б.м.в.
( )
x
α
и
( )
x
β
в точке
0
x
удовлетворяют условию
0
( ) ~ ( )
x x
x x
→
α β
, то
(
)
0
( ) ( ) ( )
x x
x x o x
→
α −β = α
, (Д.1.1)
(
)
0
( ) ( ) ( )
x x
x x o x
→
α −β = β
, (Д.1.2)
Имеем:
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim 1 1 lim 1 1 0
( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x x x
x x x
→ → →
α −β β β
= − = − = − =
α α α
,
а это означает, по определению Д.1.3, что выполняется (Д.1.1). Аналогично показывается справедливость (Д.1.2).
Верно и обратное утверждение.
Теорема Д.1.2. Если б.м.в.
( )
x
α
и
( )
x
β
в точке
0
x
удовлетворяют условию (Д.1.1) или (Д.1.2), то
0
( ) ~ ( )
x x
x x
→
α β
.
Пусть, например, выполняется условие (Д.1.2). Это означает, согласно определению Д.1.3, что
0
( ) ( )
lim 0
( )
x x
x x
x
→
α −β
∃ =
β
.
Следовательно,
0
( ) ( )
lim 1 0 1 1
( )
x x
x x
x
→
α −β
∃ + = + =
β
, (Д.1.3)
c другой стороны
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim 1 lim lim
( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x x x x x
x x x
→ → →
α −β α − β + β α
+ = =
β β β
. (Д.1.4)
В силу (Д.1.3), (Д.1.4)
0
( )
lim 1
( )
x x
x
x
→
α
=
β
,
а это означает, по определению Д.1.2, что
0
( ) ~ ( )
x x
x x
→
α β
.
Объединяя теоремы Д.1.1 и Д.1.2, приходим к следующему признаку эквивалентности двух б.м.в.:

Страницы