Математический анализ I. Фомин В.И. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

167
Действительно, зафиксируем произвольную точку
[
]
1
,
x a b
∈
. Функция
( )
f x
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа
на отрезке
[
]
[
]
1
, ,
a x a b
⊂
. Следовательно,
(
1
, |
c a x
∃ ∈
1 1
( ) ( ) ( )( )
f x f a f c x a
′
− = −
. По условию
( ) 0
f c
′
=
. Следовательно,
1
( ) ( ) 0
f x f a
− =
, т.е.
1
( ) ( ) const
f x f a c= = =
. Итак,
( ) const
f x c= =
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
.
Учитывая пример 16.1 и следствие 17.1, приходим к следующему признаку постоянства функции.
Теорема 17.7. Пусть функция
( )
y f x
=
, определённая на отрезке
[
]
,
a b
, непрерывна на этом отрезке и дифференци-
руема на интервале
(
,
a b
. Тогда
( ) const
f x c= =
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
(
( ) 0, ,
f x x a b
′
⇔ = ∀ ∈
. (17.9)
Теорема 17.8
(
теорема Коши
). Пусть функции
( )
f x
и
( )
g x
, определённые на отрезке
[
]
,
a b
, удовлетворяют следую-
щим условиям:
1)
( )
f x
и
( )
g x
непрерывны на отрезке
[
]
,
a b
;
2)
( )
f x
и
( )
g x
дифференцируемы на интервале
(
,
a b
, причём
( ) 0
g x
′
≠
,
(
,
x a b
∀ ∈
.
Тогда
(
, |
c a b
∃ ∈
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a f c
g b g a g c
′
−
=
′
−
. (17.10)
Заметим, прежде всего, что запись в левой части (17.10) корректна, т.е. что
( ) ( )
g b g a
≠
. Действительно, если бы
( ) ( )
g b g a
=
, то для функции
( )
g x
выполнялись бы все условия теоремы Ролля, в силу которой
(
, | ( ) 0
c a b g c
′
∃ ∈ =
, а это
противоречило бы условию теоремы
( ) 0
g x
′
≠
,
(
,
x a b
∀ ∈
.
Рассмотрим вспомогательную функцию
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f b f a
F x f x f a g x g a
g b g a
−
= − − −
−
,
определённую на отрезке
[
]
,
a b
. Заметим, что
( )
F x
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно,
( )
F x
непрерывна на
отрезке
[
]
,
a b
как линейная комбинация непрерывных на этом отрезке функций;
( )
F x
дифференцируема на интервале
(
,
a b
как
линейная комбинация дифференцируемых на этом интервале функций;
( ) 0, ( ) 0 ( ) ( )
F a F b F a F b
= = ⇒
( ) 0, ( ) 0 ( ) ( )F a F b F a F b
⇒ =
. По теореме Ролля
(
, |
c a b
∃ ∈
( ) 0
F c
′
=
, но
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f b f a
F x f x g x
g b g a
−
′ ′ ′
= −
−
,
следовательно,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f b f a
F c f c g c
g b g a
−
′ ′ ′
= −
−
.
Получили:
( ) ( )
( ) ( ) 0
( ) ( )
f b f a
f c g c
g b g a
−
′ ′
− =
−
,
откуда следует формула (17.10).
Замечание 17.1.
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при
( )
g x x
=
.
Д о п о л н е н и е
1.
СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫХ ВЕЛИЧИН. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть
( )
x
α
,
( )
x
β
– бесконечно малые величины (б.м.в.) в точке
0
x
, т.е.
0
lim ( ) 0
x x
x
→
α =
,
0
lim ( ) 0
x x
x
→
β =
.
Ставится вопрос: как сравнить характер приближения этих величин к нулю, т.е. какая из величин стремится к нулю бы-
стрее, какая медленнее. Такое сравнение можно провести с помощью исследования поведения отношения этих величин при
0
x x
→
.
Пусть
0 0
( ) | ( ) 0, ( )
O x x x O x
δ δ
∃ β ≠ ∀ ∈
&
. Тогда в
0
( )
O x
δ
&
определено отношение
( ) / ( )
x x
α β
.
Определение Д.1.1. Б.м.в.
( )
x
α
и
( )
x
β
называются
несравнимыми
при
0
x x
→
, если не существует ни конечного, ни
бесконечного предела их отношения.
Пример Д.1.1. Пусть
( ) sin(1/ )
x x x
α =
,
( )
x x
β =
. Функции
( )
x
α
и
( )
x
β
есть б.м.в. в точке
0
0
x
=
, ибо
0
lim 0
x
x
→
=
и в си-
лу теоремы 11.8
[
]
0
lim sin(1/ ) 0
x
x x
→
=
. Б.м.в.
( )
x
α
и
( )
x
β
являются несравнимыми при
0
x
→
, так как их отношение
( ) sin(1/ )
sin(1/ )
( )
x x x
x
x x
α
= =
β
,

Страницы