Математический анализ I. Фомин В.И. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

166
Тогда
(
)
, |
c a b
∃ ∈
( ) ( ) ( )( )
f b f a f c b a
′
− = −
. (17.6)
Рассмотрим вспомогательную функцию
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f b f a
F x f x f a x a
b a
−
= − − −
−
,
определённую на отрезке
[
]
,
a b
. Заметим, что
( )
F x
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, во-первых,
( )
F x
непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
как линейная комбинация непрерывных на этом отрезке функций (см. следствие 13.4);
во-вторых,
( )
F x
дифференцируема на интервале
(
)
,
a b
как линейная комбинация дифференцируемых на этом интервале
функций (см. следствие 16.1); в-третьих,
( ) 0, ( ) 0 ( ) ( )
F a F b F a F b
= = ⇒ =
. По теореме Ролля
(
)
, | ( ) 0
c a b F c
′
∃ ∈ =
. Но
( ) ( )
( ) ( )
f b f a
F x f x
b a
−
′ ′
= −
−
,
следовательно,
( ) ( )
( ) ( )
f b f a
F c f c
b a
−
′ ′
= −
−
.
Получили:
( ) ( )
( ) 0
f b f a
f c
b a
−
′
− =
−
,
откуда следует формула (17.6).
Формула (17.6) называется
формулой Лагранжа
.
Если в качестве
[
]
,
a b
рассмотреть отрезок
[
]
0 0
,
x x x
+ ∆
, то формула (17.6) принимает вид
0 0
( ) ( ) ( )
f x x f x f c x
′
+ ∆ − = ∆
, (17.7)
где
(
)
0 0
,
c x x x
∈ + ∆
. Формула (17.7) связывает приращения аргумента и функции, поэтому её называют
формулой конечных
приращений
.
Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 17.4).
Запишем формулу Лагранжа в виде
( ) ( )
( )
f b f a
f c
b a
−
′
=
−
. (17.8)
Рис. 17.4
Из рис. 17.4 видно, что величина
(
)
(
)
( ) ( ) /
f b f a b a
− −
есть угловой коэффициент хорды, соединяющей точки
(
)
, ( )
A a f a
и
(
)
, ( )
B b f b
графика функции
( )
y f x
=
;
( )
f c
′
есть угловой коэффициент касательной
K
к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0
, ( )
M c f c
. Таким образом, в силу (17.8) теорема Лагранжа утверждает следующее: на графике функции
между точками
A
и
B
найдётся точка
0
M
, такая что касательная к графику функции в этой точке параллельна хорде
AB
.
Следствие 17.1.
Если функция
( )
y f x
=
непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
и дифференцируема на интервале
(
)
,
a b
, при
этом
( ) 0
f x
′
=
,
(
)
,
x a b
∀ ∈
, то
( ) const
f x c
= =
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
.

Страницы