Математический анализ I. Фомин В.И. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

164
Функция
( )
y f x
=
, график которой изображён на рис. 17.1, возрастает, например, в точке
1
x
и убывает в точке
2
x
.
Теорема 17.1. Пусть функция
( )
f x
дифференцируема в точке
x
и
0
( ) 0
f x
′
>
. Тогда
( )
f x
возрастает в точке
x
.
По определению производной функции в точке
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
′
=
∆
. (17.1)
Положим
0
x x x
+ ∆ =
, тогда
0
x x x
∆ = −
,
0
x
∆ →
0
x x
⇔ →
и соотношение (17.1) принимает вид
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
′
=
−
. (17.2)
В силу (17.2) и условия
0
( ) 0
f x
′
>
0
0 0
0
( ) ( )
( ) | ( ) 0
f x f x
O x x O x
x x
δ δ
−
∃ ∀ ∈ ⇒ >
−
&
. (17.3)
Пусть
0
( )
x O x
−
δ
∈
&
, тогда
0
0
x x
− <
и из (17.3) следует, что
0
( ) ( ) 0
f x f x
− <
, т.е.
0
( ) ( )
f x f x
<
. Пусть
0
( )
x O x
+
δ
∈
&
, тогда
0
0
x x
− >
и из (17.3) следует, что
0
( ) ( ) 0
f x f x
− >
, т.е.
0
( ) ( )
f x f x
>
.
Теорема 17.2. Пусть функция
( )
f x
дифференцируема в точке
x
и
0
( ) 0
f x
′
<
. Тогда
( )
f x
убывает в точке
x
.
Доказательство теоремы 17.2 аналогично доказательству теоре- мы 17.1.
Докажем несколько теорем, имеющих важное значение при исследовании поведения функций с помощью производных
и называемых основными теоремами дифференциального исчисления.
Теорема 17.3 (
теорема Ферма
). Пусть функция
( )
y f x
=
определена и непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
и в некоторой
внутренней точке
c
этого отрезка принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если
( )
f x
дифференцируема в
точке
c
, то
( ) 0
f c
′
=
.
Пусть, для определённости, функция
( )
f x
достигает в точке
c
своего наибольшего значения (случай, когда
( )
f x
достигает в точке
c
своего наименьшего значения, рассматривается аналогично). :
( ) 0
f c
′
≠
. Тогда либо
( ) 0
f c
′
>
, либо
( ) 0
f c
′
<
. Пусть
( ) 0
f c
′
>
. По теореме 17.1
( )
f x
возрастает в точке
c
, а это означает, в частности, что
( ) |
O c
δ
∃
( ) ( ) ( )
x O c f x f c
+
δ
∀ ∈ ⇒ >
&
, что противоречит предположению о том, что в точке
c
функция
( )
f x
принимает своё
наибольшее значение. Пусть
( ) 0
f c
′
<
. Тогда по теореме 17.2
( )
f x
убывает в точке
c
, а это означает, в частности, что
( ) |
O c
δ
∃
( ) ( ) ( )
x O c f x f c
−
δ
∀ ∈ ⇒ >
&
. Противоречие. . Следовательно,
( ) 0
f c
′
=
.
В силу теоремы 15.1
( )
K
f c k
′
=
, где
K
– касательная к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0
, ( )
M c f c
. При выполне-
нии условий теоремы Ферма
( ) 0
f c
′
=
, следовательно,
0
K
k
=
, а это означает, что
||
K Ox
. Графическая иллюстрация пред-
ставлена на рис. 17.2.
Рис. 17.2
Теорема 17.4 (
теорема Дарбу
или
теорема о промежуточном значении производной дифференцируемой функции
).
Пусть функция
( )
y f x
=
дифференцируема на отрезке
[
]
,
a b
. Тогда её производная
( )
f x
′
принимает в качестве значения
каждое промежуточное число между
( )
f a
′
и
( )
f b
′
(здесь
( ) ( 0)
f a f a
′ ′
= +
,
( ) ( 0)
f b f b
′ ′
= −
).
Рассмотрим вначале случай, когда
( )
f a
′
и
( )
f b
′
имеют разные знаки. Докажем, что
(
)
, | ( ) 0
c a b f c
′
∃ ∈ =
. Пусть,
для определённости,
( ) 0
f a
′
>
,
( ) 0
f b
′
<
(случай
( ) 0
f a
′
<
,
( ) 0
f b
′
>
рассматривается аналогично). Тогда в силу теоремы
17.1 функция
( )
f x
возрастает в точке
a
справа, т.е.

Страницы