Математический анализ I. Фомин В.И. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

163
При доказательстве ограничимся случаем тригонометрических и обратных тригонометрических функций. В приме-
ре 15.2 было показано, что функция
sin
y x
=
дифференцируема на
R
и
( )
sin cos
x x
′
=
. Используя формулу
cos sin
2
π
α = α +
,
R
, функцию
cos
y x
=
можно записать в виде
cos sin
2
x x
π
= +
, т.е. в виде суперпозиции двух
функций
sin
y u
=
,
2
u x
π
= +
, каждая из которых дифференцируема на
R
. Тогда в силу следствия 16.2 функция
cos
x
диф-
ференцируема на
R
и по правилу дифференцирования сложной функции
( )
cos sin cos 1 cos sin
2 2 2
x x x x x
′
π π π
′
= + = + ⋅ = + = −
(использована формула приведения
cos sin
2
π
α + = − α
,
R
). В силу теоремы 16.1 функция
tg (sin ) /(cos )
y x x x
= =
дифференцируема на
( ) \ ,
2
D y k k
π
= + π ∈
R Z
и по формуле (16.4)
( )
2 2
2 2 2
sin (sin ) cos sin (cos ) cos sin 1
tg
cos
cos cos cos
x x x x x x x
x
x
x x x
′
′ ′
− ⋅ +
′
= = = =
(использовано основное тригонометрическое тождество
2 2
sin cos 1
α + α =
,
R
). Аналогично показывается, что функция
ctg
y x
=
дифференцируема
на
{
}
( ) \ ,D y k k= π ∈
R Z
и
( )
(
)
2
ctg 1/ sin
x x
′
= −
.
В
примере
16.2
было
показано
,
что
функция
arcsin
y x
=
дифференцируема
на
(
)
1;1
−
и
( )
2
arcsin 1/ 1
x x
′
= −
.
Аналогично
показывается
,
что
функция
arccos
y x
=
диф
-
ференцируема
на
(
)
1;1
−
а
функции
arctg
y x
=
,
arcctg
y x
=
дифференцируемы
на
R
и
для
их
производных
справедливы
формулы
из
прил
. 3.
Дифференцируемость
степенной
функции
y x
α
=
в
случае
1
α =
,
2
α =
показана
выше
(
см
.
пример
15.2
и
формулу
(15.27)).
Доказательство
дифференцируемости
степенной
функции
в
общем
случае
см
.
в
[8,
с
. 210] .
Доказательство
дифференцируемости
логарифмической
функции
log
a
y x
=
см
.
в
[8,
с
. 207].
Доказательство
дифференцируемости
показательной
функции
x
y a
=
см
.
в
[8,
с
. 208].
Гиперболические
функции
sh
y x
=
,
ch
y x
=
,
th
y x
=
,
cth
y x
=
дифференцируемы
в
силу
дифференцируемости
пока
-
зательной
функции
x
y e
=
и
теорем
16.1, 16.4.
Л е к ц и я 17.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Возрастание функции в точке
;
убывание функции в точке
;
достаточный признак возрастания функции в точке
;
доста-
точный признак убывания функции в точке
;
теорема Ферма
,
теорема Дарбу
,
теорема Ролля
,
теорема Лагранжа
,
теорема Ко-
ши
.
Пусть
дана
функция
( )
y f x
=
,
( )
x D f
∈
и
0
x
–
внутренняя
точка
множества
( )
D f
.
Определение 17.1.
Функция
( )
f x
называется
возрастающей в точке
0
x
,
если
0 0 0
( ) | ( ) ( ) ( );
O x x O x f x f x
−
δ δ
∃ ∀ ∈ ⇒ <
&
0 0
( ) ( ) ( )
x O x f x f x
+
δ
∀ ∈ ⇒ >
&
.
Определение 17.2.
Функция
( )
f x
называется
убывающей в точке
0
x
,
если
0 0 0
( ) | ( ) ( ) ( );
O x x O x f x f x
−
δ δ
∃ ∀ ∈ ⇒ >
&
0 0
( ) ( ) ( )
x O x f x f x
+
δ
∀ ∈ ⇒ <
&
.
Геометрическая
иллюстрация
определений
17.1, 17.2
представлена
на
рис
. 17.1.
Рис. 17.1
х
1
х
2

Страницы