Математический анализ I. Фомин В.И. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

162
Пример 16.3. Найдём производную сложной функции
2
sin
y x
=
. Эту функцию можно записать в виде
2
y u
=
,
sin
u x
=
. Тогда согласно формуле (16.20)
y y u
′ ′ ′
= ⋅
. Заметим, что
( )
2
2
u
y u u
′
′
= =
(см. при- мер 15.1),
( )
sin cos
x
u x x
′
′
= =
(см. пример 15.2). Учитывая, что
sin
u x
=
, получаем:
( )
2
sin 2sin cos sin 2
y x x x x
′
′
= = =
.
Замечание 16.2.
Теорема 16.4 и следствие 16.2 сохраняют силу для сложной функции, являющейся суперпозицией лю-
бого конечного числа функций.
Например, если
(
)
(
)
( )
y y w u x
=
и соответствующие функции
( )
u u x
=
,
( )
w w u
=
,
( )
y y w
=
дифференцируемы на соот-
ветствующих множествах, то сложная функция
(
)
(
)
( )
y y w u x
=
дифференцируема на соответствующем множестве и спра-
ведлива формула
x w u x
y y w u
′ ′ ′ ′
= ⋅ ⋅
. (16.21)
Пример 16.4. Найдём производную сложной функции
(
)
2
arcsin sin
y x
=
. Эту функцию можно записать в виде
arcsin
y w
=
,
2
w u
=
,
sin
u x
=
. Тогда согласно формуле (16.21)
x w u x
y y w u
′ ′ ′ ′
= ⋅ ⋅
. Заметим, что
2
1/ 1
w
y w
′
= −
(см. пример
16.2),
2
u
w u
′
=
(см. пример 15.1),
cos
x
u x
′
=
(см. пример 15.2). Учитывая, что
2
w u
=
, а
sin
u x
=
, полу- чаем:
( )
( )
2
2 4
2
1 sin 2
arcsin sin 2sin cos
1 sin
1 sin
x
y x x x
x
x
′
′
= = ⋅ ⋅ =
−
−
.
Если функция
( )
y y x
=
независимой переменной
x
дифференцируема на некотором множестве
( )
D D f
⊆
, то
( )
dy y x dx
′
=
, (16.22)
т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции и дифференциала независимой переменной
x
(см. (15.25)).
Рассмотрим сложную функцию
( )
y f u
=
,
( )
u x
= ϕ
. Пусть выполняются условия 1), 2) из следствия 16.2. То-
гда
( )
( )
dy f x dx
′
= ϕ
. В силу (16.19)
( )
( ) ( ) ( )
f x f u x
′
′ ′
ϕ = ϕ
. Следовательно,
( ) ( )
dy f u x dx
′ ′
= ϕ
. Заметим, что
( )
x dx du
′
ϕ =
.
Имеем:
( )
dy f u du
′
=
, (16.23)
т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу
u
и дифферен-
циала промежуточного аргумента
u
.
Из вышесказанного следует, что форма дифференциала функции не зависит от того, является ли аргумент этой функции
независимой переменной или дифференцируемой функцией другого аргумента. В этом заключается
свойство инвариантно-
сти
(
неизменности
)
формы дифференциала.
В силу (16.22), (16.23)
( )
dy
y x
dx
′
=
,
( )
dy
f u
du
′
=
,
т.е. производная дифференцируемой функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу её аргумен-
та как в случае, когда аргумент функции является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент функции является
дифференцируемой функ- цией другого аргумента.
Теоремы 16.1, 16.3, 16.4 позволяют доказать дифференцируемость основных элементарных функций и найти формулы
для их произ- водных.
Теорема 16.5. Основные элементарные функции
x
a
,
log
a
x
,
x
,
cos
x
,
tg
x
,
ctg
x
,
arctg
x
,
arcctg
x
,
sh
x
,
ch
x
,
th
x
,
cth
x
дифференцируемы
на
своей
области
определения
.
Степенная
функция
x
α
при
1
α ≥
дифференцируема
на
( )
D y
,
при
1
α <
дифференцируема
на
{
}
( ) \ 0
D y
.
Обратные
тригонометрические
функции
arcsin
x
,
arccos
x
дифференцируемы
на
множестве
(
)
1;1
−
.
Производные
основных
элементарных
функций
находятся
по
формулам
из
прил
. 3.

Страницы