Математический анализ I. Фомин В.И. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

161
0
0
lim ( )
u
y
f u
u
∆ →
∆
′
∃ =
∆
. (16.14)
Тогда сложная функция
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
дифференцируема в точке
0
и
0 0 0
( ) ( ) ( )
F x f u x
′ ′ ′
= ⋅ϕ
. (16.15)
Придадим
0
произвольное приращение
0 |
x
∆ ≠
0
( )
x x D
+ ∆ ∈ ϕ
. Тогда функция
( )
u x
= ϕ
получит соответствующее
приращение
0 0
( ) ( )
u x x x
∆ = ϕ + ∆ −ϕ
. Следовательно,
0 0 0
( ) ( )
x x x u u
ϕ + ∆ − ϕ = + ∆
. Приращение функции
( )
F x
в точке
0
,
вызванное приращением аргумента
x
∆
, принимает вид:
(
)
(
)
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
F F x x F x f x x f x
∆ = + ∆ − = ϕ + ∆ − ϕ =
(
)
(
)
0 0
f u u f u y
= + ∆ − = ∆
,
т.е.
F y
∆ = ∆
. (16.16)
Из (16.14) следует в силу теоремы 12.1, что
0
( ) ( )
y f u u u u
′
∆ = ⋅ ∆ + α ∆ ⋅ ∆
, (16.17)
где
( )
u
α ∆
– б.м.в. при
0
u
∆ →
, т.е.
0
lim ( ) 0
u
u
∆ →
α ∆ =
. (16.18)
В силу (16.16), (16.17)
0
( ) ( )
F f u u u u
′
∆ = ⋅∆ + α ∆ ⋅ ∆
.
Тогда
0
( ) ( )
F u u
f u u
x x x
∆ ∆ ∆
′
= + α ∆
∆ ∆ ∆
.
По условию теоремы функция
( )
u x
= ϕ
дифференцируема в точке
0
, следовательно, в силу теоремы 15.3 она непрерывна
в точке
0
, т.е., согласно определению 13.13,
0
u
∆ →
при
0
x
∆ →
. Используя теорему 12.2, замечание 12.2 и учитывая соот-
ношения (16.13), (16.18), получаем:
0
0 0
lim lim ( ) ( )
x x
F u u
f u u
x x x
∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
′
= + α ∆ =
∆ ∆ ∆
0
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
u u
f u u
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
′
= + α ∆ =
∆ ∆
0
0 0 0
( ) lim lim ( ) lim
x x x
u u
f u u
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
′
= + α ∆ ⋅ =
∆ ∆
0 0 0 0 0 0
0
( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )
x
f u x u x f u x x
∆ →
′ ′ ′ ′ ′ ′
= ⋅ϕ + α ∆ ⋅ ϕ = ϕ + ⋅ϕ =
0 0
( ) ( )
f u x
′ ′
= ϕ
.
Показано, что
0 0
0
lim ( ) ( )
x
F
f u x
x
∆ →
∆
′ ′
∃ = ϕ
∆
,
а это означает, по определению производной, что
0 0 0
( ) ( ) ( )
F x f u x
′ ′ ′
∃ = ⋅ϕ
.
Следствие 16.2.
Пусть для сложной функции
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
выполняются следующие условия:
1) функция
( )
u x
= ϕ
дифференцируема на множестве
1
( )
D D
⊆ ϕ
;
2) функция
( )
y f u
=
дифференцируема на множестве
1 1
( )
D
Ω = ϕ
(
1
Ω
– образ множества
1
D
при отображении
ϕ
).
Тогда сложная функция
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
дифференцируема на множестве
1
D
и справедлива формула
( ) ( ) ( )
F x f u x
′ ′ ′
= ϕ
, (16.19)
т.е. производная сложной функции
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
по независимой переменной
x
равна произведению производной функ-
ции
( )
y f u
=
по промежуточному аргументу
u
и производной промежуточного аргумента
( )
u x
= ϕ
по переменной
x
.
Если сложную функцию записать в виде
(
)
( )
y y u x
=
, то правило дифференцирования сложной функции принимает вид
x u x
y y u
′ ′ ′
= ⋅
. (16.20)
∆
u
→
0

Страницы