Математический анализ I. Фомин В.И. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

160
1 1
( ) ( )
s s
i i i i
i i
u x u x
= =
′
′
λ = λ
∑ ∑
.
Следствие 16.1. вытекает из замечания 16.1 и теоремы 16.2.
Теорема 16.1 и следствие 16.1 позволяют находить производные функций, получаемых в результате арифметических
операций над дифференцируемыми функциями.
Докажем теорему о производной обратной функции.
Теорема 16.3. Если строго монотонная на
( )
D f
функция
( )
y f x
=
дифференцируема на
( )
D f
и
( ) 0
y x
≠
,
( )
x D f
∀ ∈
,
то обратная для неё функция
1
( )
x f y
−
=
дифференцируема на
1
( ) ( )
D f E f
−
=
и
1
( )
( )
x y
y x
′
=
′
. (16.11)
Напомним, что существование строго монотонной обратной функции
1
( )
x f y
−
=
следует из теоремы 9.1. Зафикси-
руем произвольное
1
( )
y D f
−
∈
. Придадим
y
любое приращение
0 |
y
∆ ≠
1
( )
y y D f
−
+ ∆ ∈
. Тогда обратная функция
1
( )
x f y
−
=
получит соответствующее приращение
( ) ( )
x x y y x y
∆ = + ∆ −
, причём
0
x
∆ ≠
в силу строгой монотонности об-
ратной функции. В силу следствия 15.1 из дифференцируемости функции
( )
y f x
=
на
( )
D f
вытекает её непрерывность на
( )
D f
. Тогда в силу теоремы 13.5 обратная функция
1
( )
x f y
−
=
непрерывная на
1
( )
D f
−
, т.е. согласно определению 13.13
0
x
∆ →
при
0
y
∆ →
.
Имеем
:
0 0
0
1 1 1
lim lim
( )
lim
y x
x
x
y y
y y x
x x
∆ → ∆ →
∆ →
∆
= = =
∆ ∆
′
∆
∆ ∆
.
Итак
,
[
]
(
)
0
lim ( ) /( ) 1/ ( )
y
x y y x
∆ →
′
∃ ∆ ∆ =
,
а
это
означает
,
по
определению
производной
,
что
(
)
( ) 1/ ( )
x y y x
′ ′
∃ =
.
Пример 16.2.
Рассмотрим
функцию
sin
y x
=
с
областью
определения
( ) ;
D f
= −
ππ
−
2
;
2
.
Для
неё
(
)
( ) 1;1
E f = −
.
Эта
функция
возрастает
на
( )
D f
,
дифференцируема
на
( )
D f
и
( )
sin cos
y x x
′
′
= =
(
см
.
пример
15.2).
Заметим
,
что
cos 0
y x
= ≠
,
( )
x D f
∀ ∈
.
Таким
образом
,
функция
sin
y x
=
,
x
∈ −
ππ
−
2
;
2
удовлетворяет
условиям
теоремы
16.3,
в
силу
которой
обратная
для
неё
функция
arcsin
x y
=
,
(
)
1
( ) 1;1
D f
−
= −
,
1
( ) ;
E f
−
= −
ππ
−
2
;
2
дифференцируема
на
1
( )
D f
−
и
по
фор
-
муле
(16.11)
2 2
1 1 1 1 1
( )
( ) cos cos(arcsin )
1 sin (arcsin ) 1
x y
y x x y
y y
′
= = = = =
′
− −
(
использована
формула
2
cos 1 sin
α = − α
,
ибо
α =
arcsin ;
y
= ∈ −
ππ
−
2
;
2
⇒
cos 0
α >
).
Итак
,
для
функции
arcsin
x y
=
( )
2
1
arcsin
1
y
y
′
=
−
.
Заменяя
в
обратной
функции
обозначения
аргумента
y
и
функции
x
на
привычные
обозначения
x
и
y
,
получаем
формулу
для
вычисления
производной
функции
arcsin
y x
=
:
( )
2
1
arcsin
1
x
x
′
=
−
,
1 1
x
− < <
. (16.12)
Укажем
правило
дифференцирования
сложной
функции
.
Теорема 16.4.
Пусть
для
сложной
функции
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
(
( )
y f u
=
,
( )
u x
= ϕ
)
выполняются
следующие
условия
:
а
)
функция
( )
u x
= ϕ
дифференцируема
в
точке
0
x
,
т
.
е
.
0
0
lim ( )
x
u
x
x
∆ →
∆
′
∃ = ϕ
∆
; (16.13)
б
)
функция
( )
y f u
=
дифференцируема
в
соответствующей
точке
0 0
( )
u x
= ϕ
,
т
.
е
.

Страницы