Математический анализ I. Фомин В.И. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

158
[
]
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
w w x x w x u x x v x x u x v x
∆ = + ∆ − = + ∆ + + ∆ − + =
[
]
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
u x x u x v x x v x u v
= + ∆ − + + ∆ − = ∆ + ∆
.
Итак,
( )
w x u v
= ∆ + ∆
, следовательно,
x x x
∆ ∆ ∆
= +
∆ ∆ ∆
. (16.5)
По условию теоремы функции
u
и
v
дифференцируемы в точке
x
, т.е.
0
lim ( )
x
u
u x
x
∆ →
∆
′
∃ =
∆
,
0
lim ( )
x
v
v x
x
∆ →
∆
′
∃ =
∆
. (16.6)
Тогда в силу основной теоремы о пределах функций (см. теорему 12.2)
0 0 0
lim lim lim ( ) ( )
x x x
u v u v
u x v x
x x x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆ ∆
′ ′
∃ + = + = +
∆ ∆ ∆ ∆
,
т.е. в силу (16.5)
0
lim ( ) ( )
x
w
u x v x
x
∆ →
∆
′ ′
∃ = +
∆
,
а это означает, по определению производной, что
( ) ( ) ( )
w x u x v x
′ ′ ′
∃ = +
, т.е.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x
′
′ ′
∃ + = +
.
Аналогично показывается, что
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x
′
′ ′
− = −
.
Пусть
( ) ( ) ( )
w x u x v x
=
. Тогда
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
w w x x w x u x x v x x u x v x
∆ = + ∆ − = + ∆ + ∆ − =
[
]
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x
= + ∆ + ∆ − + ∆ + + ∆ − =
[
]
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x x u x v x x u x v x x v x
= + ∆ − + ∆ + + ∆ − =
( ) ( )
u v x x u x v
= ∆ ⋅ + ∆ + ⋅∆
.
Итак,
( ) ( )
w u v x x u x v
∆ = ∆ ⋅ + ∆ + ⋅ ∆
, следовательно,
( ) ( )
w u v
v x x u x
x x x
∆ ∆ ∆
= + ∆ +
∆ ∆ ∆
. (16.7)
По условию теоремы функция
v
дифференцируема в точке
x
, следовательно, в силу теоремы 15.3 она непрерывна в
точке
x
, в силу чего
0
lim ( ) ( )
x
v x x v x
∆ →
∃ + ∆ =
. (16.8)
Тогда в силу (16.6), (16.8), теоремы 12.2 и замечания 12.2
0
lim ( ) ( )
x
w u v
v x x u x
x x x
∆ →
∆ ∆ ∆
∃ = + ∆ + =
∆ ∆ ∆
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
u v
v x x u x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
= + ∆ + =
∆ ∆
0 0 0
lim lim ( ) ( ) lim
x x x
u v
v x x u x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
= ⋅ + ∆ + =
∆ ∆
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x
′ ′
+
,
т.е. в силу (16.7)
0
lim
x
w
x
∆ →
∆
∃ =
∆
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x
′ ′
+
,
а это означает, по определению производной, что
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
w x u x v x u x v x
′ ′ ′
∃ = +
, т.е.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x u x v x
′
′ ′
∃ = +
.
Пусть
(
)
(
)
( ) ( ) / ( )
w x u x v x
=
. В силу (16.8) и условия
( ) 0
v x
≠
(0) | (0) ( ) 0
O x O v x x
δ δ
∃ ∀∆ ∈
⇒
+ ∆ ≠
&
. Так как мы интересу-
емся пределом
(
)
(
)
/
w x
∆ ∆
при
0
x
∆ →
, то можно считать, что
(0)
x O
δ
∆ ∈
&
, т.е. что
( ) 0
v x x
+ ∆ ≠
. Тогда

Страницы