Математический анализ I. Фомин В.И. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

157
0 0 0 0
sin sin
2 2
lim lim cos lim lim cos
2 2
2 2
x x x x
x x
y x x
y x x
x x
x
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
∆ ∆ ∆
′
= = + = ⋅ + =
∆ ∆
∆
1 cos cos
x x
= ⋅ =
.
Итак,
( )
sin cos
x x
′
=
.
Из теоремы 15.3 вытекает
Следствие 15.1.
Если функция
( )
=
дифференцируема на множестве
( )
D D f
⊆
, то она непрерывна на этом мно-
жестве.
Если функция
( )
=
дифференцируема на множестве
( )
D D f
⊆
, то в каждой точке
x D
∈
можно рассмотреть диф-
ференциал функции
( )
f x
:
( ) ( )
dy x f x x
′
= ∆
или в более краткой форме
dy y x
′
= ⋅∆
. (15.23)
Рассмотрим функцию
y x
=
и её приращение
y
∆
в точке
x
, вызванное приращением аргумента
x
∆
:
( ) 1 0
y x x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ = ⋅ ∆ +
.
Получили представление (15.12) с
1
A
=
,
( ) 0
o x
∆ =
. Следовательно,
1
dy x
= ⋅∆
, но
y x
=
. Значит,
dx x
= ∆
, (15.24)
т.е. дифференциал независимой переменной
x
равен приращению
x
∆
этой переменной. Формула (15.23) принимает вид
dy y dx
′
=
, (15.25)
следовательно,
dy
y
dx
′
=
, (15.26)
т.е. производная
( )
y x
′
функции
( )
y x
равна отношению дифференциала функции
( )
dy x
к дифференциалу аргумента
dx
(ра-
нее символ
dy
dx
был использован как цельный символ для обозначения производной
( )
y f x
′ ′
=
).
Так как в представлении (15.12) для функции
y x
=
число
A
равно единице, то
( )
1
x
′
=
. (15.27)
Л е к ц и я 16. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О
ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ
Основная теорема о производных функций
;
теорема о производной обратной функции
;
теорема о производной сложной
функции
;
свойство инвариантности формы дифференциала
;
производные основных элементарных функций
.
При дифференцировании функций применяется следующее утверждение,
называемое основной теоремой о производ-
ных функций
.
Теорема 16.1. Пусть функции
( )
u u x
=
и
( )
v v x
=
дифференцируемы на множестве
( ) ( )
D D u D v
⊆ ∩
. Тогда сумма,
разность, произведение и частное этих функций тоже дифференцируемы на множестве
D
(в случае частного предполагает-
ся, что
( ) 0
v x
≠
,
x D
∀ ∈
) и справедливы формулы
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x
′
′ ′
+ = +
, (16.1)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x
′
′ ′
− = −
, (16.2)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x v x u x v x u x v x
′
′ ′
= +
, (16.3)
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x u x v x u x v x
v x
v x
′
′ ′
−
=
. (16.4)
Зафиксируем произвольное
x D
∈
. Рассмотрим любое
0 |
x
∆ ≠
x x D
+ ∆ ∈
. Пусть
( ) ( ) ( )
w x u x v x
= +
. Тогда

Страницы