Математический анализ I. Фомин В.И. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

156
В силу того, что первое слагаемое в правой части равенства (15.20) является главной частью приращения функции, а
второе слагаемое
( )
o x
∆
– б.м.в. высшего порядка по сравнению с
x
∆
при
0
x
∆ →
, можно считать при достаточно малых
x
∆
, что
0
( )
′
∆ ≈ ∆
, т.е.
0
( )
y dy x
∆ ≈
:
0 0 0
( ) ( ) ( )
f x x f x f x x
′
+ ∆ − ≈ ∆
или
0 0 0
( ) ( ) ( )
f x x f x f x x
′
+ ∆ ≈ + ∆
. (15.22)
Формула (15.22) используется для приближенного вычисления значений функции при "плохих" значениях аргумента.
Выясним геометрический смысл дифференциала функции в точке. Из прямоугольного треугольника
0
M AB
∆
на рис.
15.2 видно, что
0
tg
AB x
= ∆ ⋅ α
. Учитывая, что
0 0
tg ( )
f x
′
α =
,
0 0
( ) ( )
f x x dy x
′
∆ =
, получаем равенство
0
( )
dy x AB
=
, т.е. диф-
ференциал функции
( )
y f x
=
в точке
0
x
при данном приращении аргумента
x
∆
равен соответствующему приращению ор-
динаты касательной, проведённой к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
.
Установим связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в данной точке.
Теорема 15.3. Если функция
( )
y f x
=
дифференцируема в точке
0
x
, то она непрерывна в этой точке.
Пусть функция
( )
y f x
=
дифференцируема в точке
0
x
, т.е. имеет место представление (15.12). Тогда
[
]
(
)
0 0 0 0
lim lim ( ) lim lim ( ) 0 0 0
x x x x
y A x o x A x o x
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ = ⋅∆ + ∆ = ⋅∆ + ∆ = + =
.
Получили:
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =
,
а это означает, согласно определению 13.13, что функция
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
.
Замечание 15.1.
Утверждение, обратное теореме 15.3, неверно, т.е. из непрерывности функции в точке не следует её
дифференцируемость в этой точке.
Например, функция
, 0
, 0
x x
y x
x x
− <
= =
≥
непрерывна в точке
0
0
x
=
, но не является дифференцируемой в этой точке, что следует из (15.5), ибо
0 0 0 0 0 0
(0 0) lim lim lim ( 1) 1
x x x
y x
f
x x
∆ → − ∆ → − ∆ → −
∆ −∆
′
− = = = − = −
∆ ∆
,
0 0 0 0 0 0
(0 0) lim lim lim 1 1
x x x
y x
f
x x
∆ → + ∆ → + ∆ → +
∆ ∆
′
+ = = = =
∆ ∆
,
т.е.
(0 0) (0 0)
f f
′ ′
− ≠ +
.
Определение 15.8.
Функция
( )
y f x
=
называется дифференцируемой на множестве
( )
D D f
⊆
, если она дифференци-
руема в каждой точке этого множества.
Пусть функция
( )
y f x
=
дифференцируема на множестве
( )
D D f
⊆
. Тогда каждой точке
x D
∈
можно поставить в со-
ответствие производную
( )
f x
′
функции
( )
f x
во взятой точке
x
. Тем самым на множестве
D
задана функция
( )
y f x
′ ′
=
,
называемая
производной функции
( )
f x
. Производную
( )
y f x
′ ′
=
обозначают так же символом
dy
dx
. Операция нахождения
производной
( )
f x
′
функции
( )
f x
называется
дифференцированием
.
Пример 15.1. Найдём производную функции
2
,
y x x
= ∈
R
. Зафиксируем произвольное
x
∈
R
.Тогда
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( )
y y x x y x x x x x x x x x
∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ + ∆ − =
2
2 ( )
x x x
= ∆ + ∆
,
( )
2
0 0 0
2 ( )
lim lim lim 2 2
x x x
y x x x
y x x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆
′
= = = + ∆ =
∆ ∆
.
Итак,
( )
2
2
x x
′
=
.
Пример 15.2. Найдём производную функции
sin , y x x
= ∈
R
. Зафиксируем произвольное
x
∈
R
.Тогда
( )
( ) ( ) sin sin 2sin cos
2 2
x x
y y x x y x x x x x
∆ ∆
∆ = + ∆ − = + ∆ − = +
.
Используя первый замечательный предел и непрерывность функции
cos
y x
=
, получаем:
;

Страницы