Математический анализ I. Фомин В.И. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

155
а это означает, по определению, что б.м.в.
0
( )
A x dy x
⋅∆ =
имеет одинаковый порядок малости с б.м.в.
x
∆
при
0
x
∆ →
. Вто-
рое слагаемое в правой части (15.15) является б.м.в. высшего порядка по сравнению с б.м.в.
x
∆
при
0
x
∆ →
.
Таким образом, в случае
0
A
≠
дифференциал функции
y f x
=
в точке
0
x
представляет собой главную часть прира-
щения этой функции в данной точке. Если
0
A
=
, то
0
( ) 0 0
dy x x
= ⋅∆ =
перестаёт быть главной частью приращения
y
∆
, ибо
слагаемое
( )
o x
∆
в правой части (15.15) не обязано быть равным нулю.
Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием конечной производной этой функции в данной
точке устанавливается следующим утверждением.
Теорема 15.2. Функция
y f x
=
дифференцируема в точке
0
x
, т.е. выполняется условие (15.12) тогда и только тогда,
когда она имеет в точке
0
x
конечную производную, равную числу
A
:
0
( )
f x A
′
∃ =
. (15.16)
Необходимость
. Пусть функция
y f x
=
дифференцируема в точке
0
x
, т.е. её приращение в этой точке, соответст-
вующее приращению аргумента
x
∆
, представимо в виде (15.12). Тогда при
0
x
∆ ≠
( )
y o x
A
x x
∆ ∆
= +
∆ ∆
.
Учитывая (15.13), получаем:
0 0 0 0
( ) ( )
lim lim lim lim
x x x x
y o x o x
A A A
x x x
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆
= + = + =
∆ ∆ ∆
.
Получили:
0
lim
x
y
A
x
∆ →
∆
∃ =
∆
,
а это означает, по определению, что выполняется (15.16).
Достаточность
. Пусть выполняется (15.16), т.е.
0
0
( ) lim
x
y
f x A
x
∆ →
∆
′
∃ = =
∆
.
Тогда в силу первого признака существования конечного предела функции в точке (см. теорему 12.1), справедливо представ-
ление
( )
y
A x
x
∆
= + α ∆
∆
, (15.17)
где
( )
x
α ∆
– б.м.в. при
0
x
∆ →
, т.е.
0
lim ( ) 0
x
x
∆ →
α ∆ =
. (15.18)
Из (15.17) следует, что
( )
y A x x x
∆ = ⋅∆ + α ∆ ⋅∆
. (15.19)
Положим
( ) ( )
x x x
γ ∆ = α ∆ ⋅∆
. Заметим, что
( )
x
γ ∆
является б.м.в. высшего порядка по сравнению с
x
∆
при
0
x
∆ →
, ибо,
учитывая, (15.18), получаем:
0 0 0
( ) ( )
lim lim lim ( ) 0
x x x
x x x
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
γ ∆ α ∆ ⋅∆
= = α ∆ =
∆ ∆
.
Итак,
( ) ( )
x o x
γ ∆ = ∆
, при
0
x
∆ →
и формула (15.19) принимает вид
( )
y A x o x
∆ = ⋅∆ + ∆
,
т.е. выполняется (15.12).
В силу теоремы 15.2 определение дифференцируемости функции в точке можно сформулировать в следующем виде.
Определение 15.7. Функция
y f x
=
называется
дифференцируемой в точке
0
x
, если она имеет конечную производ-
ную в этой точке.
В силу (15.16) соотношения (15.12), (15.14) принимают вид
0
( ) ( )
y f x x o x
′
∆ = ∆ + ∆
, (15.20)
0 0
( ) ( )
dy x f x x
′
= ∆
. (15.21)

Страницы