Математический анализ I. Фомин В.И. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

153
Рис. 15.2
Теорема 15.1. Пусть функция
( )
y f x
=
имеет производную
0
( )
f x
′
. Тогда существует касательная к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
, ( )
M x f x
и угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс угла её наклона к положительному
направлению оси
Ox
) равен производной
0
( )
f x
′
:
0
( )
K
k f x
′
=
. (15.6)
Пусть
α
– угол наклона секущей
(
)
0
M M
к положительному направлению оси
Ox
(заметим, что
( )
x
α = α ∆
, ибо
положение точки
M
на графике
f
Г
зависит от величины
x
∆
). Проведём перпендикуляр
0
M A
к прямой
0
x x x
= + ∆
. Из
прямоугольного
0
M AM
∆
получаем:
tg ( )
y
x
x
∆
α ∆ =
∆
,
следовательно,
( ) arctg
y
x
x
∆
α ∆ =
∆
.
По условию теоремы
0
0
lim ( )
x
y
f x
x
∆ →
∆
′
∃ =
∆
.
Значит, в силу непрерывности функции
arctg
x
0 0
0 0 0
lim ( ) lim arctg arctg lim arctg ( )
x x x
y y
x f x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
′
∃α = α ∆ = = =
∆ ∆
,
т
.
е
.
существует
предельное
значение
0 0
arctg ( )
f x
′
α =
(15.7)
угла
наклона
( )
x
α = α ∆
секущей
(
)
0
M M
при
0
x
∆ →
.
А
это
означает
,
что
существует
касательная
K
к
графику
функции
( )
y f x
=
в
точке
(
)
, ( )
M x f x
с
углом
наклона
0
α
к
положительному
направлению
оси
Ox
.
В
силу
(15.7)
0 0
tg ( )
f x
′
α =
.
По
определению
углового
коэффициента
прямой
,
0
tg
K
k
α =
.
Получаем
:
0
( )
K
k f x
′
=
.
В
силу
теоремы
15.1
0
( )
K
f x k
′
=
, (15.8)
т
.
е
.
производная
функции
( )
y f x
=
в
точке
0
x
равна
угловому
коэффициенту
касательной
к
графику
функции
( )
y f x
=
в
точке
(
)
, ( )
M x f x
.
В
этом
заключается
геометрический
смысл
производной
функции
в
точке
.
Найдём
уравнение
касательной
K
.
Из
аналитической
геометрии
известно
[4,
с
. 63],
что
уравнение
прямой
d
,
проходя
-
щей
через
дан
-
ную
точку
(
)
0 0 0
,
M x y
с
заданным
угловым
коэффициентом
k
имеет
вид
0 0
( )
y y k x x
− = −
. (15.9)

Страницы