Математический анализ I. Фомин В.И. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

151
При изучении различных процессов окружающего нас мира необходимо знать скорость течения таких процессов, т.е.
скорость изменения функций, описывающих эти процессы. В связи с этим вводится одно из фундаментальных понятий ма-
тематического анализа – понятие производной функции.
Рассмотрим некоторое множество
Ω ⊂
R
.
Определение 15.1. Точка
0
x
∈Ω
называется
внутренней точкой множества
Ω
, если существует
δ
– окрестность этой
точки, целиком содержащаяся в
Ω
.
Определение 15.2. Множество
Ω
называется
открытым множеством
, если каждая его точка является внутренней точ-
кой этого множества, т.е. для
( ), ( ) | ( )x O x x O x
δ δ
∀ ∈Ω ∃ δ = δ ⊂ Ω
.
Пусть дана функция
( )
y f x
=
,
x D f
∈
и
0
x
– внутренняя точка множества
D f
, т.е.
0 0
( ) | ( ) ( )
O x O x D f
δ δ
∃ ⊂
.
Придадим
0
x
приращение
x
∆
, т.е. рассмотрим точку
0
x x
+ ∆
(приращение
x
∆
должно быть достаточно малым, а
именно, таким, чтобы
0 0
( )
x x O x
δ
+ ∆ ∈
; приращение
x
∆
может быть как положительным, так и отрицательным). Тогда
функция
( )
y f x
=
получит приращение
0 0
( ) ( )
y f x x f x
∆ = + ∆ −
. Число
y
∆
называется
приращением функции
( )
y f x
=
в
точке
0
x
,
соответствующим приращению аргумента
x
∆
.
Величина
y
∆
показывает насколько изменилось значение функции при переходе из точки
0
x
в точку
0
x x
+ ∆
. Отноше-
ние
y
x
∆
∆
– это средняя скорость изменения функции
( )
y f x
=
при изменении её аргумента на участке от
0
x
до
0
x x
+ ∆
, а ве-
личина
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
(15.1)
равна мгновенной скорости изменения функции
( )
y f x
=
в точке
0
x
. В различных прикладных задачах функция
( )
y f x
=
описывает некоторый процесс, и важно знать скорость течения этого процесса, т.е. возникает необходимость рассматривать
величины вида (15.1). В связи с этим введём следующее определение.
Определение 15.3.
Производной функции
( )
y f x
=
в точке
0
x
называется конечный предел отношения приращения
этой функции в данной точке к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел
существует.
Для обозначения производной функции
( )
y f x
=
в точке
0
x
можно использовать любой из символов:
0
( )
f x
′
,
)(
0
xy
′
,
0
( )
df x
dx
,
dx
xdy
)(
0
,
0
xx
dx
df
=
,
0
xx
dx
dy
=
,
0
( )
Df x
,
0
( )
Dy x
.
Итак, по определению,
0 0
0
0 0
( ) ( )
( ) lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
′
= =
∆ ∆
. (15.2)
Таким образом, производная функции
( )
y f x
=
в точке
0
x
равна мгновенной скорости изменения этой функции в данной
точке. В этом заключается механический смысл производной (в широком смысле).
Пусть, например,
( )
s s t
=
– закон неравномерного прямолинейного движения материальной точки (
( )
s t
– путь, прой-
денный точкой к моменту времени
t
). Требуется определить мгновенную скорость движения материальной точки в фикси-
рованный момент времени
0
t
. Придадим
0
t
приращение
t
∆
, тогда
0 0
( ) ( )
s s t t s t
∆ = + ∆ −
– путь, пройденный точкой за про-
межуток времени
[
]
0 0
,
t t t
+ ∆
:
Рис. 15.1
Средняя скорость движения материальной точки на временном промежутке
[
]
0 0
,
t t t
+ ∆
равна
s
t
∆
∆
, а её мгновенная ско-
рость
0
( )
v t
выражается формулой
0
0
( ) lim
t
s
v t
t
∆ →
∆
=
∆
,
если такой предел существует. По определению производной
0
0
lim ( )
t
s
s t
t
∆ →
∆
′
=
∆
,
следовательно,
0 0
( ) ( )
v t s t
′
=
, (15.3)

Страницы