Математический анализ I. Фомин В.И. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

152
т.е. мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени
0
t
равна производной закона движения этой точ-
ки в момент времени
0
t
.
Отношение
0 0
( ) ( )
f x x f x
y
x x
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
называется
разностным отношением функции
( )
y f x
=
в точке
0
. Это отношение при фиксированном
0
представляет
собой функцию аргумента
x
∆
:
0 0
( ) ( )
( )
f x x f x
x
x
+ ∆ −
ϕ ∆ =
∆
.
Функция
( )
ϕ ∆
определена для
(0)
x O
δ
∀∆ ∈
&
, ибо
0 0
( ) ( )
x x O x D f
δ
+ ∆ ∈ ⊂
при любом
(0)
x O
δ
∆ ∈
&
. Точка
0
x
∆ =
есть
предельная точка множества
(0)
O
δ
&
, следовательно, мы имеем право говорить о пределе функции
( )
ϕ ∆
при
0
x
∆ →
.
Соотношение (15.2) принимает вид
0
0
( ) lim ( )
x
f x x
∆ →
′
= ϕ ∆
. (15.4)
В силу (15.4) определение производной функции в точке можно сформулировать в следующем виде.
Определение 15.3.
Производной функции
( )
y f x
=
в точке
0
называется конечный предел при
0
x
∆ →
разностного
отношения
( )
ϕ ∆
этой функции в данной точке, если такой предел существует.
Левосторонняя и правосторонняя производные функции
( )
y f x
=
в точке
0
определяются следующим образом:
0
0 0
( 0) lim ( )
x
f x x
∆ → −
′
− = ϕ ∆
,
0
0 0
( 0) lim ( )
x
f x x
∆ → +
′
+ = ϕ ∆
(если такие пределы существуют).
Левосторонняя и правосторонняя производные функции
( )
y f x
=
в точке
0
называются односторонними производ-
ными этой функции в данной точке.
В силу второго признака существования конечного предела функции в точке (см. теорему 13.1) приходим к следующе-
му
признаку существования производной
:
0 0 0
( ) ( 0), ( 0)
f x H f x f x
′ ′ ′
∃ = ⇔ ∃ − ∃ +
и
0 0
( 0) ( 0)
f x f x H
′ ′
− = + =
.
(15.5)
Если
(
)
0
lim ( )
x
x
∆ →
ϕ ∆ = +∞ −∞
, то говорят, что функция
( )
y f x
=
имеет в точке
0
бесконечную положительную (отрица-
тельную) производную.
Выясним геометрический смысл производной функции в точке. Пусть функция
( )
y f x
=
определена и непрерывна на
сегменте
[
]
,
a b
,
(
)
0
,
x a b
∈
. Придадим
0
приращение
[
]
0
| ,
x x x a b
∆ + ∆ ∈
. Рассмотрим точки
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
,
(
)
0 0
, ( )
M x x f x x
+ ∆ + ∆ ∈
f
Г
. Прямая, проходящая через точки
0
M
и
M
, называется
секущей
. Если
0
x
∆ →
, то
0
M M
→
,
при этом, секущая
(
)
0
S M M
=
изменяет своё положение, вращаясь вокруг точки
0
M
. Возможна ситуация, когда существует
прямая, которая является предельным положением секущей
(
)
0
M M
при
0
x
∆ →
. В связи с этим вводится понятие касатель-
ной к графику функции.
Определение 15.4.
Касательной к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
называется прямая
(
)
0
K M T
=
,
которая является предельным положением секущей
(
)
0
S M M
=
при
0
M M
→
(т.е. при
0
x
∆ →
), если такое предельное по-
ложение секущей существует.
Геометрическая иллюстрация показана на рис. 15.2.

Страницы