Математический анализ I. Фомин В.И. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

154
Касательная
K
проходит через точку
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
и
0
( )
K
′
=
, следовательно, в силу (15.9) уравнение касательной к
графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
имеет вид
0 0 0
( ) ( )( )
y f x f x x x
′
− = −
. (15.10)
Другая форма записи уравнения (15.10):
0 0 0
( ) ( )( )
y y x y x x x
′
− = −
.
Определение 15.5.
Нормалью к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
называется прямая
N
, проходящая
через точку
0
M
перпендикулярно касательной к графику функции
( )
y f x
=
в точке
0
M
.
Найдём уравнение нормали
N
. Пусть функция
( )
y f x
=
имеет производную
0
( )
f x
′
и
0
( ) 0
f x
′
≠
. По определению,
N K
⊥
. Из аналитической геометрии известно [4, с. 66]: если прямые
1
d
и
2
d
перпендикулярны, то их угловые коэффици-
енты
1
k
и
2
k
связаны соотношением
(
)
1 2
1/
k k
= −
. Следовательно,
(
)
1/
N K
k k
= −
или в силу (15.6)
(
)
0
1/ ( )
N
k f x
′
= −
. Име-
ем: нормаль
N
проходит через точку
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
и для неё
(
)
0
1/ ( )
N
k f x
′
= −
. Следовательно, в силу (15.9) уравнение
нормали к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
имеет вид
0 0
0
1
( ) ( )
( )
y f x x x
f x
− = − −
′
. (15.11)
Другая форма записи уравнения (15.11):
0 0
0
1
( ) ( )
( )
y y x x x
y x
− = − −
′
.
Если
0
( ) 0
f x
′
=
, то касательная
K
к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
задаётся уравнением
0
( )
y f x
=
,
т.е.
||
K Ox
. Следовательно, нормаль
N
к графику функции
( )
y f x
=
в точке
(
)
0 0 0
, ( )
M x f x
перпендикулярна оси
Ox
и её
уравнение имеет вид
0
x x
=
.
Пусть дана функция
( )
y f x
=
,
( )
x D f
∈
и
0
x
– внутренняя точка множества
( )
D f
, т.е.
0 0
( ) | ( ) ( )
O x O x D f
δ δ
∃ ⊂
. При-
дадим
0
x
приращение
x
∆
, такое что
0 0
( )
x x O x
δ
+ ∆ ∈
. Тогда функция
( )
y f x
=
получит приращение
0 0
( ) ( )
y f x x f x
∆ = + ∆ −
. Если функция
( )
f x
непреАрывна в точке
0
x
, то согласно определению 13.13 приращение
y
∆
функции
( )
f x
в точке
0
x
является бесконечно малой величиной при
0
x
∆ →
, т.е.
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =
. При решении некоторых за-
дач необходима более подробная информация о природе б.м.в.
y
∆
при
0
x
∆ →
. В связи с этим вводится понятие дифферен-
цируемости функции в точке.
Определение 15.6. Функция
( )
y f x
=
называется
дифференцируемой в точке
0
x
, если приращение
y
∆
этой функции в
данной точке, отвечающее приращению аргумента
x
∆
, представимо в виде
( )
y A x o x
∆ = ⋅∆ + ∆
, (15.12)
где
A
– некоторая константа, не зависящая от
x
∆
;
( )
o x
∆
– б.м.в. высшего порядка по сравнению с
x
∆
при
0
x
∆ →
, т.е.
0
( )
lim 0
x
o x
x
∆ →
∆
=
∆
; (15.13)
при этом выражение
А
∆
х
называется
дифференциалом функции
( )
f x
в точке
0
x
и обозначается символом
0
( )
dy x
(или
0
( )
df x
):
0
( )
dy x A x
= ⋅∆
. (15.14)
По определению, дифференциал функции
( )
y f x
=
в точке
0
x
является линейной однородной функцией аргумента
x
∆
(линейной функцией аргумента
t
называется функция вида
y at b
= +
, где
,
a b
– некоторые
постоянные
;
в
случае
0
b
=
линейная
функция
называется
однородной
).
Используя
понятие
дифференциала
функции
,
запишем
формулу
(15.12)
в
виде
0
( ) ( )
y dy x o x
∆ = + ∆
. (15.15)
Пусть
0
A
≠
,
тогда
0 0
lim lim 0
x x
A x
A A
x
∆ → ∆ →
⋅∆
= = ≠
∆
,

Страницы