Математический анализ I. Фомин В.И. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 14.6.
(
вторая теорема Вейерштрасса
).
Пусть функция
( )
y f x
=
определена и непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
. Тогда она достигает на этом отрезке своих точной
верхней и точной нижней граней, т.е.
[
]
[ ]
[ ]
* *
* *
,
,
, , | ( ) sup ( ), ( ) inf ( )
x a b
x a b
x x a b f x f x f x f x
∈
∈
∃ ∈ = =
. (14.16)
Докажем, что функция
f x
достигает на отрезке
[
]
,
a b
своей точной верхней грани
*
M
. :
*
M
не достигается,
т.е.
*
( )
f x M
<
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
. (14.17)
Рассмотрим на отрезке
[
]
,
a b
вспомогательную функцию
*
1
( )
( )
x
M f x
ϕ =
−
.
Заметим, что в силу (14.17)
( ) 0
x
ϕ >
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
и в силу замечания 13.4 и следствия 13.1
( )
x
ϕ
непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
. Тогда по первой теореме Вейерштрасса функция
( )
x
ϕ
ограничена на отрезке
[
]
,
a b
, в частности, ограничена сверху
на
[
]
,
a b
, т.е.
0 | ( )x
∃ν > ϕ ≤ ν
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
. Для
[
]
,
x a b
∀ ∈
имеем:
* *
*
1 1 1
( ) ( )
( )
M f x f x M
M f x
≤ ν ⇒ − ≥ ⇒ ≤ −
ν ν
−
.
Получили:
*
1
( )f x M
≤ −
ν
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
, т.е. число
* *
1
1
M M M
= − <
ν
является верхней границей функции
f x
на отрезке
[
]
,
a b
, а это противоречит тому, что
*
M
есть точная верхняя грань (т.е. наименьшая из всех верхних границ) функции
f x
на отрезке
[
]
,
a b
. .
Докажем, что функция
f x
достигает на отрезке
[
]
,
a b
своей точной нижней грани
*
m
. :
*
m
не достигается, т.е.
*
( )
f x m
>
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
. (14.18)
Рассмотрим на отрезке
[
]
,
a b
вспомогательную функцию
*
1
( )
( )
x
f x m
ψ =
−
.
Заметим, что в силу (14.18)
( ) 0
x
ψ >
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
и
x
ψ
непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
. Следовательно, по первой теоре-
ме Вейерштрасса функция
x
ψ
ограничена на отрезке
[
]
,
a b
, в частности, ограничена сверху на
[
]
,
a b
, т.е.
0 | ( )x
∃µ > ψ ≤ µ
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
. Для
[
]
,
x a b
∀ ∈
имеем:
* *
*
1 1 1
( ) ( )
( )
f x m f x m
f x m
≤ µ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ +
− µ µ
.
Получили:
*
1
( )f x m
≥ +
µ
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
, т.е. число
1 * *
1
m m m
= + >
µ
является нижней границей функции
f x
на отрезке
[
]
,
a b
, а это противоречит тому, что
*
m
есть точная нижняя грань (т.е. наибольшая из всех нижних границ) функции
f x
на
отрезке
[
]
,
a b
. .
Так как непрерывная на отрезке
[
]
,
a b
функция
f x
достигает на нём своих точной верхней и точной нижней граней,
то оправдана следующая терминология: числа
[ ]
*
,
sup ( )
x a b
M f x
∈
=
,
[ ]
*
,
inf ( )
x a b
m f x
∈
=
называются соответственно
наибольшим
(
максимальным
) и
наименьшим
(
минимальным
) значениями функции
f x
на от-
резке
[
]
,
a b
. Обозначение:
[ ]
*
,
max ( )
x a b
M f x
∈
=
,
[ ]
*
,
min ( )
x a b
m f x
∈
=
.

Страницы