Математический анализ I. Фомин В.И. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 14.6
Теорема 14.4
(
вторая теорема Больцано-Коши
).
Пусть функция
( )
y f x
=
определена и непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
и на концах этого отрезка принимает неравные зна-
чения:
( )
f a A
=
,
( )
f b B
и
A B
≠
. Тогда для любого числа
C
, лежащего между
A
и
B
, найдётся такая точка
(
)
,
c a b
∈
,
что
( )
f c C
=
.
Пусть, для определённости,
A B
<
(случай
A B
>
рассматривается аналогично). Пусть
A C B
< <
. Рассмотрим
вспомогательную функцию
( ) ( )
x f x C
ϕ = −
,
[
]
,
x a b
∈
. Функция
( )
x
ϕ
непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
, как разность двух не-
прерывных на
[
]
,
a b
функций. Далее,
( ) ( ) 0
a f a C A C
ϕ = − = − <
,
( ) ( ) 0
b f b C B C
ϕ = − = − >
, т.е. функция
( )
x
ϕ
принимает
на концах отрезка
[
]
,
a b
значения разных знаков. Следовательно, по первой теореме Больцано-Коши
(
)
, | ( ) 0
c a b c
∃ ∈ ϕ =
, т.е.
( ) 0
f c C
− =
, откуда
( )
f c C
=
.
Теорему 14.4 называют
теоремой о промежуточном значении непрерывной функции.
Геометрическая иллюстрация теоремы 14.4 представлена на рис. 14.7.
Рис. 14.7
В силу теоремы 14.4 непрерывная на отрезке
[
]
,
a b
функция
( )
f x
, переходя от одного значения к другому, принимает
(хотя бы один раз) каждое промежуточное между ними значение. Иными словами, все значения непрерывной на отрезке
[
]
,
a b
функции
( )
f x
сплошь заполняют некоторый отрезок
[
]
,
α β
(на рис. 14.7 в качестве
[
]
,
α β
выступает отрезок
[
]
,
A B
).
Замечание 14.1.
Пусть для последовательностей
{
}
n
u
,
{
}
n
v
выполняется условие
n n
u v
≥
,
n
∀ ∈
N
. (14.9)
Тогда, если
lim
n
n
v
→∞
= +∞
, то
lim
n
n
u
→∞
= +∞
.
Действительно, имеем: для
0 ( ) |
E N N E
∀ > ∃ =
n
n N v E
∀ >
⇒
>
, следовательно, в силу (14.9)
n
u E
>
, а это означает,
по определению предела, что
lim
n
n
u
→∞
= +∞
.
Замечание 14.2.
Пусть для последовательностей
{
}
n
u
,
{
}
n
v
выполняется условие

Страницы