Математический анализ I. Фомин В.И. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

n n
u v
≤
,
n
∀ ∈
N
. (14.10)
Тогда, если
lim
n
n
v
→∞
= −∞
, то
lim
n
n
u
→∞
= −∞
.
Действительно, имеем: для
0 ( ) |
∀ < ∃ =
n
n N v E
∀ >
⇒
<
, следовательно, в силу (14.10)
n
u E
<
, а это означает,
по определению предела, что
lim
n
n
u
→∞
= −∞
.
Теорема 14.5
(
первая теорема Вейерштрасса
).
Пусть функция
( )
y f x
=
определена и непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е.
, | ( )
M m m f x M
∃ ∈ ≤ ≤
R
,
[
]
,
x a b
∀ ∈
. (14.11)
Докажем, что функция
( )
f x
ограничена сверху на отрезке
[
]
,
a b
(ограниченность снизу доказывается аналогично).
: функция
( )
f x
не является ограниченной сверху на отрезке
[
]
,
a b
. Тогда для
n x a b f x n
∀ ∈ ∃ ∈ ≥
N
[
]
, | ( )
n n
n x a b f x n
∀ ∈ ∃ ∈ ≥
N
. (14.12)
Полученная
последовательность
{
}
n
x
ограничена
,
ибо
n
a x b
≤ ≤
,
n
∀ ∈
N
.
Следовательно
,
в
силу
теоремы
Больцано
-
Вейерштрасса
(
см
.
теорему
8.2)
из
неё
можно
извлечь
сходящуюся
подпоследовательность
:
{
}
{ }
|
k
n n
x x
∃ ⊂
0
lim
k
n
k
x x
→∞
=
, (14.13)
при
этом
,
в
силу
следствия
7.3,
[
]
0
,
x a b
∈
.
По
условию
теоремы
функция
( )
f x
определена
и
непрерывна
на
отрезке
[
]
,
a b
,
в
частности
,
она
непрерывна
в
точке
0
x
,
т
.
е
.
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
∃ =
.
Следовательно
,
в
силу
(14.13)
и
теоремы
14.1
(
)
0
lim ( )
k
n
k
f x f x
→∞
=
. (14.14)
С
другой
стороны
,
в
силу
(14.12)
(
)
k
n k
f x n
≥
k
∀ ∈
N
.
Так
как
lim
k
k
n
→∞
= +∞
,
то
в
силу
замечания
14.1
(
)
lim
k
n
k
f x
→∞
= +∞
,
что
противоречит
(14.14). .
Теорему
14.5
называют
теоремой об ограниченности непрерывной функции.
Замечание 14.3.
Из
непрерывности
функции
на
интервале
(
или
полуинтервале
)
не
вытекает
её
ограниченность
на
этом
интервале
(
полуинтервале
).
Пример 14.2.
Функция
(
)
1/
f x x
=
непрерывна
на
интервале
(
)
0;1
,
но
не
является
ограниченной
на
нём
,
ибо
0 0
lim (1/ )
x
x
→ +
= +∞
(
см
. (10.13)).
Пусть
функция
( )
y f x
=
определена
и
непрерывна
на
отрезке
[
]
,
a b
.
Тогда
в
силу
первой
теоремы
Вейерштрасса
её
об
-
ласть
значений
[
]
{
}
( ) | ( ), ,
E f y y f x x a b
= ∈ = ∈R
является
ограниченным
множеством
.
Следовательно
,
в
силу
теорем
3.1, 3.2
множество
( )
E f
имеет
точную
верхнюю
и
точ
-
ную
нижнюю
грани
:
*
sup ( )
M E f
= ,
*
inf ( )
m E f
= . (14.15)
Равенства
(14.15)
удобно
записывать
в
виде
[ ]
*
,
sup ( )
x a b
M f x
∈
=
,
[ ]
*
,
inf ( )
x a b
m f x
∈
=
или
в
виде
*
sup ( )
a x b
M f x
≤ ≤
= ,
*
inf ( )
a x b
m f x
≤ ≤
= .
Определение 14.3.
Точной верхней гранью функции
(
)
f x
на отрезке
[
]
,
a b
называется
точная
верхняя
грань
множест
-
ва
всех
значений
этой
функции
на
данном
отрезке
(
т
.
е
.
число
*
M
).
Определение 14.4.
Точной нижней гранью функции
(
)
f x
на отрезке
[
]
,
a b
называется
точная
нижняя
грань
множества
всех
значений
этой
функции
на
данном
отрезке
(
т
.
е
.
число
*
m
).

Страницы