Математический анализ I. Фомин В.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 14.2. Число
A
называется
пределом функции
( )
f x
в точке
0
x
(или при
x
, стремящемся к
0
x
), если для
любой последовательности
{
}
x
значений аргумента
x
, сходящейся к
0
x
и состоящей из чисел
n
x
, отличных от
0
x
, соот-
ветствующая последовательность
(
)
{
}
n
f x
значений функции
( )
f x
сходится к числу
A
.
Определение 10.11 называют определением предела функции по Коши, а определение 14.2 – определением предела
функции по Гейне.
Определение 14.2 удобно использовать, когда исследуется вопрос о существовании предела функции
( )
f x
в точке
0
x
.
Действительно, если удаётся построить хотя бы одну последовательность
{
}
x
, сходящуюся к
0
x
, такую, что последователь-
ность
(
)
{
}
n
f x
не имеет предела, то функция
( )
f x
не имеет предела в точке
0
x
; или если удаётся построить две различные
последовательности
{
}
x
′
и
{
}
x
′′
, сходящиеся к
0
x
, такие, что последовательности
(
)
{
}
n
f x
′
,
(
)
{
}
n
f x
′′
имеют различные пре-
делы, то функция
( )
f x
не имеет предела в точке
0
x
.
Рассмотрим свойства непрерывных на отрезке функций.
Теорема 14.3
(
первая теорема Больцано-Коши
).
Пусть функция
( )
y f x
=
определена и непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
и на концах этого отрезка принимает значения раз-
ных знаков, т.е.
( ) ( ) 0
f a f b
⋅ <
. Тогда
(
)
, | ( ) 0
c a b f c
∃ ∈ =
.
Пусть, для определённости,
( ) 0
f a
<
,
( ) 0
f b
>
(случай
( ) 0
f a
>
,
( ) 0
f b
<
исследуется аналогично). Рассмотрим се-
редину отрезка
[
]
,
a b
, т.е. точку
( ) / 2
d a b= +
. Может оказаться, что
( ) 0
f d
=
. Тогда теорема доказана, ибо в качестве
c
можно взять
d
. Пусть
( ) 0
f d
≠
. Разобьём отрезок
[
]
,
a b
пополам:
[
]
,
a d
,
[
]
,
d b
. Выберем из полученных отрезков тот, для
которого на левом конце функция принимает отрицательное значение, а на правом конце – положительное значение (если
( ) 0
f d
>
, то в качестве такого отрезка выступает
[
]
,
a d
; если
( ) 0
f d
<
, то в качестве такого отрезка выступает
[
]
,
d b
). Обо-
значим его через
[
]
1 1
,
a b
. По условию
1
( ) 0
f a
<
,
1
( ) 0
f b
>
. Рассмотрим середину отрезка
[
]
1 1
,
a b
, т.е. точку
1 1 1
( ) / 2
d a b= +
.
Если окажется, что
1
( ) 0
f d
=
, то теорема будет доказана (при
1
c d
=
). Пусть
1
( ) 0
f d
≠
. Разобьём отрезок
[
]
1 1
,
a b
на два от-
резка
[
]
1 1
,
a d
и
[
]
1 1
,
d b
и обозначим через
[
]
2 2
,
a b
тот из них, для которого
2
( ) 0
f a
<
,
2
( ) 0
f b
>
. Продолжая этот процесс
далее, мы либо через конечное число шагов укажем середину очередного отрезка, в которой функция обращается в нуль,
тогда теорема будет доказана; либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга замкнутых проме-
жутков:
[
]
[
]
[
]
[
]
1 1 2 2 1 1
, , ... , , ...
n n n n
a b a b a b a b
− −
⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ⊃
,
при этом
2
n n
n
b a
b a
−
− =
,
n
∀ ∈
N
,
следовательно,
(
)
lim 0
n n
n
b a
→∞
− =
. Мы оказались в условиях леммы о вложенных промежутках (см. лемму 7.1), в силу которой
существу-
ет единственная точка
c
, принадлежащая всем этим промежуткам, причём
lim
n
n
a c
→∞
=
,
lim
n
n
b c
→∞
=
. (14.6)
По построению, выполняются условия
( ) 0
n
f a
<
,
( ) 0
n
f b
>
,
n
∀ ∈
N
. (14.7)
По условию теоремы функция
( )
f x
непрерывна на отрезке
[
]
,
a b
, в частности, она непрерывна в точке
c
, т.е.
lim ( ) ( )
x c
f x f c
→
∃ =
. Следовательно, в силу (14.6) и теоремы 14.1
lim ( ) ( )
n
n
f a f c
→∞
=
,
lim ( ) ( )
n
n
f b f c
→∞
=
. (14.8)
Переходя к пределу в неравенствах (14.7) и используя (14.8), получаем в силу теоремы о предельном переходе в нера-
венстве (см. теорему 7.1), что
( ) 0
f c
≤
и
( ) 0
f c
≥
, следовательно,
( ) 0
f c
=
. Заметим, что
(
)
,
c a b
∈
, ибо
( ) 0
f a
<
,
( ) 0
f b
>
.
Условимся называть теорему 14.3
теоремой о существовании нуля функции
(значение
*
( )
x D f
∈
называется
нулём
функции
( )
f x
, если
*
( ) 0
f x
=
).
Геометрическая иллюстрация теоремы 14.3 представлена на рис. 14.6.

Страницы