Математический анализ I. Фомин В.И. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 14.5
Вывод 14.3.
Если оба односторонних предела функции
( )
y f x
=
в точке
0
x
равны бесконечности (неважно каких зна-
ков), то прямая
0
:
d x x
=
есть
двусторонняя вертикальная асимптота
графика функции
( )
(рис. 14.5).
Пусть
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
. Рассмотрим последовательность
{
}
( )
n
x D f
⊂
значений аргумента
x
, такую что
0
lim
n
n
x x
→∞
=
, и со-
ответствующую последовательность
(
)
{
}
n
f x
значений функций
( )
. Ставится вопрос о поведении последовательности
(
)
{
}
n
f x
в смысле сходимости.
Замечание 14.1.
Необходимо предположить, что
0
n
x x
≠
,
n
∀ ∈
N
, ибо: а) возможно, что
0
( )
x D f
∈
и соответствующее
значение
( )
n
f x
в точке
0
n
x x
=
не существует; б) даже если
0
( )
x D f
∈
, то значение
0
( )
f x
не участвует в определении пре-
дела функции (см. определение 10.9).
Теорема 14.1. Если
0
lim ( )
x x
f x A
→
∃ =
, (14.2)
то для
{
}
( )
n
x D f
∀ ⊂
,
0
n
x x
≠
,
n
∀ ∈
N
, такой что
0
lim
n
n
x x
→∞
=
, (14.3)
выполняется:
lim ( )
n
n
f x A
→∞
∃ =
. (14.4)
Зафиксируем произвольное
0
ε >
. В силу (14.2) для
(
)
(
)
0 0
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
O A O x x D f O x f x O A
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩
⇒
∈
&
. (14.5)
В силу (14.3) для
(
)
0 0
( ) ( ) |
n
O x N N n N x O x
δ δ
∃ = δ ∀ >
⇒
∈
.
Заметим, что
( )
N N
= ε
, ибо
( )
δ = δ ε
. По условию теоремы
( )
n
x D f
∈
,
0
n
x x
≠
,
n
∀ ∈
N
. Имеем: для
(
)
0 0
( ) ( ) | ( )
n
O x N N n N x D f O x
δ δ
∃ = ε ∀ >
⇒
∈ ∩
&
,
следовательно, в силу (14.5)
(
)
( )
n
f x O A
ε
∈
. Итак, для
(
)
O A
ε
∀
(
)
( ) | ( )
n
N N n N f x O A
ε
∃ = ε ∀ >
⇒
∈
, а это означает, по оп-
ределению предела, что
lim ( )
n
n
f x A
→∞
∃ =
.
Оказывается, что верно и обратное утверждение (см. [9, с. 265]).
Теорема 14.2. Пусть для
{
}
( )
n
x D f
∀ ⊂
,
0
n
x x
≠
,
|
n
∀ ∈
N
0
lim
n
n
x x
→∞
=
lim ( )
n
n
f x A
→∞
⇒ =
, где
const
A
=
, не зависящая от
выбора последовательности
{
}
n
x
. Тогда
0
lim ( )
x x
f x A
→
∃ =
.
В силу теорем 14.1, 14.2 можно дать следующее определение предела функции в точке, равносильное определению
10.11.

Страницы