Математический анализ I. Фомин В.И. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4
4 4
2
2sin cos
2sin cos 2 1 0
2 2
lim 2
1
tg tg
2 4
x
x x
x
π
→
π π
−
− ⋅ −
= = =
π
.
Л е к ц и я 14. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ,
ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,
НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Точки разрыва функции, их классификация
;
вертикальные асимптоты графика функции
;
определение предела функции
по Гейне
;
первая и вторая теоремы Больцано–Коши
;
первая теорема Вейерштрасса
;
точная верхняя и точная нижняя грани
функции на отрезке
;
вторая теорема Вейерштрасса
.
Рассмотрим функцию
( )
y f x
=
,
( )
x D f
∈
. Пусть
0
x
– предельная точка множества
( )
. Заметим (см. лекцию 10),
что возможны как случай
0
( )
x D f
∈
, так и случай
0
( )
x D f
∈
.
Определение 14.1. Точка
0
x
называется
точкой разрыва функции
( )
f x
, если в этой точке функция
( )
f x
не является
непрерывной.
Если
0
x
– точка разрыва функции
( )
f x
, то говорят, что функция
( )
f x
разрывна в точке
0
x
или имеет (терпит) разрыв
в точке
0
x
.
Используя второй признак непрерывности функции в точке (см. лекцию 13):
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
⇔
∃
конечные
0 0
( 0), ( 0)
f x f x
− +
и
0 0 0
( 0) ( 0) ( )
f x f x f x
− = + =
, (14.1)
приходим к следующему выводу: точка
0
x
является точкой разрыва функции
( )
f x
тогда и только тогда, когда нарушается
хотя бы одно из условий в соотношении (14.1) после знака равносильности.
Возможные следующие ситуации.
1. Существуют конечные односторонние пределы
0 0
( 0), ( 0)
f x f x
− +
и
0 0
( 0) ( 0)
f x f x
− = +
, но не определено
0
( )
f x
, т.е.
0
( )
x D f
∈
.
В этом случае точка
0
x
называется
устранимой точкой разрыва функции
( )
f x
. Такое название объясняется тем, что
можно рассмотреть "расширенную" функцию вида
0
( ), ( ),
( )
, ,
f x x D f
f x
A x x
∈
=
=
%
где
0 0
A= ( 0) ( 0)
f x f x
− = +
. Функция
( )
f x
%
непрерывна в точке
0
x
, ибо
0 0 0
( 0) ( 0) ( )
f x f x f x A
− = + = =
% % %
, т.е. доопределив
функцию
( )
f x
в точке
0
x
, мы устранили её разрыв в данной точке.
Пример 14.1. Рассмотрим функцию
(
)
( ) sin /
f x x x
=
,
{
}
( ) \ 0
D f = R
. Точка
0
0
x
=
– предельная точка множества
( )
,
0
( )
x D f
∈
. Так как
(
)
0
lim sin / 1
x
x x
→
=
(см. (11.11)), то в силу теоремы 13.1
(0 0), (0 0)
f f
∃ − +
и
(0 0) (0 0) 1
f f
− = + =
.
Следовательно,
0
0
x
=
– устранимая точка разрыва функции
( )
f x
. "Расширенная" функция
sin
, , 0,
( )
1, 0
x
x x
f x
x
x
∈ ≠
=
=
%
R
непрерывна в точке
0
0
x
=
(рис. 14.1).
Рис. 14.1
Заметим, что
0
M
∈
f
Г
, но
0
M
∈
f
Г
~
.
2. Существуют конечные односторонние пределы
0
( 0),
f x
−
0
( 0),
f x +
но
0 0
( 0) ( 0)
f x f x
− ≠ +
.
;
;

Страницы