Математический анализ I. Фомин В.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0 0 0
( ) ( ) ( )
u x v x w x
= + =
.
Получили:
0
lim ( )
x x
w x
→
=
0
( )
, а это означает по определению, что функция
( )
w x
непрерывна в точке
0
x
.
Следствие 13.1.
Если функции
( )
u x
и
( )
v x
непрерывны на множестве
1
( ) ( )
D D u D v
⊆ ∩
, то их сумма, разность, про-
изведение и частное непрерывны на множестве
1
D
, при этом, в случае частного предполагается, что
( ) 0
v x
≠
,
1
x D
∀ ∈
.
Используя теорему 13.2 и метод математической индукции, приходим к следующему утверждению.
Теорема 13.3. Сумма и произведение любого конечного числа функций
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
u x u x u x
, непрерывных в точке
0
x
,
есть функции, непрерывные в точке
0
x
.
Следствие 13.2.
Если
( )
f x
непрерывна в точке
0
x
, то для
n
∀ ∈
N
,
2
n
≥
функция
[ ]
( )
n
f x
непрерывна в точке
0
x
.
Замечание 13.2.
Функция
( )
f x x
=
непрерывна в каждой точке
0
x
∈
R
.
Действительно,
0 0 0 0
( ) ( )
y f x x f x x x x x
∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆
и
lim lim 0
x o x o
y x
∆ → ∆ →
∆ = ∆ =
, что означает, согласно определению
13.13, непрерывность функции
( )
f x x
=
в точке
0
x
.
Замечание 13.3.
Степенная функция
( )
n
f x x
=
,
n
∈
N
,
2
n
≥
непрерывна на множестве
R
.
Замечание 13.4.
Функция
( ) const
f x c= =
непрерывна в каждой точке
0
x
∈
R
.
Действительно, для этой функции
0 0
( ) ( )
y f x x f x
∆ = + ∆ − =
0
c c
= − =
, следовательно,
lim lim 0 0
x o x o
y
∆ → ∆ →
∆ = =
. Получили:
lim 0
x o
y
∆ →
∆ =
, а это означает согласно определению 13.13, что функция
( )
f x c
=
непрерывна в точке
0
x
.
Следствие 13.3.
Если функции
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
u x u x u x
непрерывны в точке
0
x
, то их линейная комбинация
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( )
s s
u x u x u x
λ + λ + + λ
с любыми коэффициентами
1 2
, ,...,
s
λ λ λ ∈
R
непрерывна в точке
0
x
.
Следствие 13.3 вытекает из замечания 13.4 и теорем 13.2, 13.3.
Следствие 13.4.
Если функции
1 2
( ), ( ),..., ( )
s
u x u x u x
непрерывны на множестве
1
1
( )
s
k
k
D D u
=
⊆
I
, то их линейная комби-
нация
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( )
s s
u x u x u x
λ + λ + + λ
с любыми коэффициентами
1 2
, ,...,
s
λ λ λ ∈
R
непрерывна на множестве
1
D
.
Докажем теорему о непрерывности суперпозиции двух непрерывных функций.
Теорема 13.4. Пусть для сложной функции
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
выполняются следующие условия:
а) функция
( )
u x
= ϕ
непрерывна в точке
0
x
, т.е.
0
0
lim ( ) ( )
x x
x x
→
∃ ϕ = ϕ
; (13.19)
б) функция
( )
y f u
=
непрерывна в точке
0 0
( )
u x
= ϕ
, т.е.
0
0
lim ( ) ( )
u u
f u f u
→
∃ =
. (13.20)
Тогда сложная функция
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
непрерывна в точке
0
x
, т.е.
(
)
(
)
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
∃ ϕ = ϕ
. (13.21)
Зафиксируем произвольное
0
ε >
. В силу (13.20) для числа
ε
1 1 0 1 0
( ) 0 | ( ) : ( ) ( )u D f u u f u f u
∃δ = δ ε > ∀ ∈ − < δ ⇒ − < ε
. (13.22)
В силу (13.19) для числа
1
0
δ >
1
( ) 0 |
∃δ = δ δ >
0 0 1
( ) : ( ) ( )x D x x x x
∀ ∈ ϕ − < δ ⇒ ϕ − ϕ < δ
, т.е.
0 1
u u
− < δ
, следователь-
но, в силу (13.22)
0
( ) ( )f u f u
− < ε
. Заметим, что
( )
δ = δ ε
, ибо
1 1
( )
δ = δ ε
;
( ) ( )
D F D
= ϕ
. Получили:
(
)
(
)
0 0
0 ( ) 0 | ( ) : ( ) ( )x D F x x f x f x
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ ∈ − < δ ⇒ ϕ − ϕ < ε
,
а это означает по определению предела, что имеет место (13.21).
Следствие 13.5.
Пусть для сложной функции
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
выполняются следующие условия:
1) функция
( )
u x
= ϕ
непрерывна на множестве
1
( )
D D
⊆ ϕ
;
2) функция
( )
y f u
=
непрерывна на множестве
1 1
( )
D
Ω = ϕ
(
1
Ω
– образ множества
1
D
при отображении
ϕ
).
Тогда сложная функция
(
)
( ) ( )
F x f x
= ϕ
непрерывна на множестве
D
1
.
Следствие 13.6.
Суперпозиция любого числа непрерывных в точке (на множестве) функций есть непрерывная в этой
точке (на этом множестве) функция.
Следствие 13.6 получается из теоремы 13.4 с помощью метода математической индукции.
Соотношение (13.21) можно записать в силу (13.19) в виде

Страницы