Математический анализ I. Фомин В.И. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =
. (13.15)
Следовательно, определение непрерывности функции в точке можно сформулировать в следующем виде.
Определение 13.13. Функция
( )
f x
называется
непрерывной
в точке
0
x
, если приращение
y
∆
этой функции в данной
точке, соответствующее приращению аргумента
∆
, является б.м.в. при
0
x
∆ →
, другими словами, если бесконечно малому
приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.
Пример 13.1. Пусть
( ) sin
f x x
=
,
( )D f
=
R
. Покажем, что функция
( )
f x
непрерывна в любой точке
0
x
∈
R
. При до-
казательстве первого замечательного предела было установлено (см. (11.15)), что
sin
x x
≤
,
2
(0)
x O
π
∀ ∈
&
, следовательно,
sin
x x
≤
,
2
(0)
x O
π
∀ ∈
, ибо
sin 0 0
=
. Но тогда
sin
x x
≤
,
x
∀ ∈
R
, (13.16)
ибо
sin 1
x
≤
,
x
∀ ∈
R
и
1
2
x
π
≥ >
,
2
\ (0)
x O
π
∀ ∈ R
.
Используя формулу
sin sin 2sin cos
2 2
α − β α + β
α − β =
,
получаем:
0 0
0 0
( ) ( ) sin sin 2sin cos
2 2
x x x x
f x f x x x
− +
− = − =
.
Возьмём
0
ε >
. Положим
δ = ε
. Тогда, используя (13.16) и неравенство
cos 1
x
≤
,
x
∀ ∈
R
, имеем для
0
:x x x
∀ − < δ
0 0 0 0
0
( ) ( ) 2sin cos 2 sin cos
2 2 2 2
x x x x x x x x
f x f x
− + − +
− = = ⋅ ⋅ ≤
0
0
2 1
2
x x
x x
−
≤ ⋅ ⋅ = − < δ = ε
.
Получили:
0 0
0 ( ) 0 | : ( ) ( )x x x f x f x
∀ε > ∃δ = δ ε > ∀ − < δ ⇒ − < ε
,
а это означает по определению предела, что
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
∃ =
, т.е. функция
( ) sin
f x x
=
непрерывна в произвольно взятой
точке
0
x
∈
R
.
Определение 13.14. Функция
( )
f x
называется
непрерывной на
некотором
множестве
1
( )
D D f
⊆
, если она непрерыв-
на в каждой точке этого множества.
В частности, если функция
( )
f x
задана на интервале
(
)
,
a b
, то эта функция называется непрерывной на данном интер-
вале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала; если функция
( )
f x
задана на сегменте
[
]
,
a b
, то эта функция
называется непрерывной на данном сегменте, если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента
[
]
,
a b
и, кроме того,
непрерывна справа в точке
a
и непрерывна слева в точке
.
Пример 13.1 показывает, что функция
( ) sin
f x x
=
непрерывна на всей области определения
( )D f
=
R
.
Докажем
основную теорему о непрерывных функциях
, согласно которой в результате арифметических операций над
функциями, непрерывными в данной точке, получаются функции, которые тоже непрерывны в этой точке.
Теорема 13.2. Пусть функции
( )
u x
и
( )
v x
непрерывны в точке
0
x
, т.е.
0
0
lim ( ) ( )
x x
u x u x
→
∃ =
, (13.17)
0
0
lim ( ) ( )
x x
v x v x
→
∃ =
. (13.18)
Тогда их сумма, разность, произведение и частное, т.е. функции
( ) ( )
u x v x
+
,
( ) ( )
u x v x
−
,
( ) ( )
u x v x
,
( )
( )
u x
v x
тоже непрерыв-
ны в точке
0
x
, при этом, в случае частного предполагается, что
0
( ) 0
v x
≠
.
Докажем, например, что функция
( ) ( ) ( )
w x u x v x
= +
непрерывна в точке
0
x
(оставшаяся часть теоремы доказывается
аналогично). Используя (13.17), (13.18) и основную теорему о пределах функций (см. теорему 12.2), имеем:
[
]
0 0 0 0
lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x x x
w x u x v x u x v x
→ → → →
= + = + =

Страницы